数学分析 导数与微分

一.导数
1.定义
(1)2个与导数相联系的问题:

–i.瞬时速度:
平均速度$\bar{v}=\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}$vˉ=t−t0​s(t)−s(t0​)​
瞬时速度$v=\displaystyle \lim_{t \to t_0}{\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}}$v=t→t0​lim​t−t0​s(t)−s(t0​)​

–ii切线的斜率:
割线的斜率$\bar{k}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$kˉ=x−x0​f(x)−f(x0​)​
切线的斜率$k=\displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$k=x→x0​lim​x−x0​f(x)−f(x0​)​

(2)导数的定义:

(3)有限增量公式:

由公式(5)可推得定理5.1:若函数f在点x₀处可导,则f在x₀处连续

(4)单侧导数:

类似单侧极限与极限的关系,有定理5.2:
若$y=f(x)$y=f(x)在某$U(x_0)$U(x0​)上有定义,则$f'(x_0)$f′(x0​)存在的充要条件是:$f'_+(x_0),f'_-(x_0)$f+′​(x0​),f−′​(x0​)均存在,且$f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$f+′​(x0​)=f−′​(x0​)

2.导函数:


3.导数的几何意义
(1)几何意义:切线的斜率

(2)极值点:

(3)费马定理(定理5.3)与驻点:

设函数f在某U(x₀)上有定义,且在x₀处可导;若x₀为f的极值点,则必由$f'(x_0)=0$f′(x0​)=0

证明:

二.求导法则

总结:
①$(u±v)'=u'±v'$(u±v)′=u′±v′
②(uv)’=u’v+uv’
$\quad$特别地,当v=c(c为常数),$(cu)'=cu'$(cu)′=cu′
③$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$(vu​)′=v2u′v−uv′​
$\quad$特别地,当u=1,$(\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2}$(v1​)′=−v2v′​
④反函数导数:$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$dxdy​=dydx​1​
⑤复合函数导数:$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}$dxdy​=dudy​⋅dxdu​

1.导数的四则运算

2.反函数的导数

3.复合函数的导数

4.基本初等函数导数公式