李宏毅深度学习笔记2-2Backpropagation

1、背景

梯度下降
对于参数θ (weight and bias)先选择一个初始的 $\theta^0$θ0，计算 $\theta^0$θ0的损失函数（Loss Function）设一个参数的偏微分计算完这个向量（vector）偏微分，然后就可以去更新θ。
而对于百万级别的参数（millions of parameters）：反向传播（Backpropagation）是一个比较有效率的算法，让你计算梯度（Gradient） 的向量（Vector）时，可以有效率的计算出来
链式法则

2、反向传播

1、损失函数(Loss function)是定义在单个训练样本上的，也就是就算一个样本的误差，比如我们想要分类，就是预测的类别和实际类别的区别，是一个样本的，用L表示。
2、代价函数(Cost function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和的平均，也就是损失函数的总和的平均，有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。
3、总体损失函数(Total loss function)是定义在整个训练集上面的，也就是所有样本的误差的总和。也就是平时我们反向传播需要最小化的值。

对于L(θ)就是所有的损失之和，所以如果要算L(θ)的偏微分，只要算每个样本的损失函数的偏微分，再结果加起来就可以。
取出一个Neuron进行分析：把计算梯度分成两个部分
计算$\frac{\partial z}{\partial w}$∂w∂z​（Forward pass的部分）
计算$\frac{\partial C}{\partial z}$∂z∂C​ (Backward pass的部分 )

Forward pass
根据求微分原理，forward pass的运算规律就是：$\frac{\partial z}{\partial w_1} = x_1 \frac{\partial z}{\partial w_2} = x_2$∂w1​∂z​=x1​∂w2​∂z​=x2​ 这里计算得到的$x_1x1$x1​x1和$x_2$x2​恰好就是输入的$x_1$x1​和$x_2$x2​
Backward Pass
Backward pass的部分比较复杂，因为我们的C是最后一层： 那怎么计算
$\frac{\partial C}{\partial z}$∂z∂C​

计算所有**函数的偏微分，**函数有很多，这里使用Sigmoid函数为例这里使用链式法则（Chain Rule）的case1，计算过程如下：
$\frac{\partial C}{\partial z} = \frac{\partial a}{\partial z}\frac{\partial C}{\partial a} \Rightarrow {\sigma}'(z)\frac{\partial C}{\partial a} = \frac{\partial z'}{\partial a}\frac{\partial C}{\partial z'} +\frac{\partial z''}{\partial a}\frac{\partial C}{\partial z''}$∂z∂C​=∂z∂a​∂a∂C​⇒σ′(z)∂a∂C​=∂a∂z′​∂z′∂C​+∂a∂z′′​∂z′′∂C​

假设问号可以算出来，那么最终的式子结果：

这就是反向传播，通过后面的导数求前面的导数，其中σ′(z)其实是常数，因为它在向前传播的时候就已经确定了
case 1 : Output layer
假设$\frac{\partial C}{\partial z'}$∂z′∂C​和$\frac{\partial C}{\partial z''}$∂z′′∂C​是最后一层的隐藏层 也就是就是y1与y2是输出值，那么直接计算就能得出结果。

case 2 : Not Output Layer
如果不是最后一层，计算就需要继续往后一直通过链式法则算下去
我们可以做一个反向的神经网络，把损失函数与正向的输出的导数当作输入，不断计算导数的前向传播即可。实际上进行backward pass时候和向前传播的计算量差不多。