Model-Based RL-基于模型的强化学习-理论详解1：最优控制和规划问题（Optimal Control and Planning）/ CEM/MCTS/LQR

文章目录

• 1. MB概念引出
• 1.1 概念
• 1.2 MB三个阶段
• 2. Optimal Control and Planning
• 2.1 三种情况
• 概念辨别closed-loop和open-loop
• 1. Deterministic情况下open-loop
• 2. 随机开循环Stochastic open-loop case
• 3. 随机闭循环
• 2.2 优化问题
• 问题抽象
• 2.3 优化方法
• 2.3.1 CEM
• 2.3.2 MCTS
• 材料阅读
• 2.2.3 LQR
• 2.2.4 DDP/Iterative LQR
• LQR原理：
• 案例材料

本文为笔者观看伯克利大学CS285 2019 MB部分课程结合自己理解所做笔记。如果错误请指出。欢迎讨论。
课程源地址
文章推导过程、公式皆来自于课堂ppt

1. MB概念引出

1.1 概念

强化学习的目标就是希望agent做出的动作序列得到最多的累计奖励，假设我们知道两个状态之间的转换概率$p(s_{t+1}|s_t,a_t)$p(st+1​∣st​,at​)，那么我们的算法可以表示为：

上图中第一个式子是状态动作序列$\tau$τ的概率。优化agent训练的依据就是最大化序列奖励的数学期望。

Model-Based reinforcement learning就是学习动力学转换概率，然后算出如何去选择动作。

1.2 MB三个阶段

• 知道了动力学模型，如何做出好的决策，最优控制和计划。Optimal Control and Planning
• 如何学习一个描述动力学环境的模型model
• 如何直接学习策略，不使用控制和计划。

2. Optimal Control and Planning

2.1 三种情况

概念辨别closed-loop和open-loop

close-loop是一个动作进行一次交互，得到新的状态。

open-loop是指观察第一个状态，然后返回一系列动作，这些都是agent自己想的。

1. Deterministic情况下open-loop

Deterministic 是指下一个动作直接通过状态和当前状态动作产生。得到初始状态$s_1$s1​，进而agent想象出接下来的一些列动作：

这里f包括了环境。你的模型f通过状态和动作就能直接产生下一个动作。

动作序列的产生是依据最大化累计奖励。

2. 随机开循环Stochastic open-loop case

环境模型是随机的，下一状态是基于概率产生的，即通过model我们得到的是$p(s_{t+1}|s_t,a_t)$p(st+1​∣st​,at​)下一个状态的概率，所以我们在计划动作序列的时候，由于知道的是概率，所以在计划动作序列的时候，是利用累计奖励的数学期望。

3. 随机闭循环

和开循环相比，引入了策略函数$\pi$π。那么下一个动作产生的概率为$\pi(a_t|s_t)$π(at​∣st​)。我们使用最大化累计奖励来优化$\pi$π的参数。

• 如果策略是用神经网络表示的，则可以得到全局最优。
• 如果适应时变线性函数(time-varying linear)，则为局部最优函数。(较为简单)

2.2 优化问题

问题抽象

上述的三种情况问题进行抽象，我们动作序列的优化可以成：
$a_1...a_T = \arg \max_{a_1...a_T} J(a_1...a_T)$a1​...aT​=arga1​...aT​max​J(a1​...aT​)

J代表deterministic和stochastic open-loop的优化项，我们暂时不用考虑具体是哪个。

进而写成：
$A = \arg \max_A J(A)$A=argAmax​J(A)

A代表动作序列$a_1,a_2...a_T$a1​,a2​...aT​

2.3 优化方法

2.3.1 CEM

CEM: Cross-Entropy method

如何能找到最佳的动作序列的？

最简单的想法：猜测->验证。即

1. 从某个分布中（例如均一分布，就是随机选取）选择N个组动序列$A_1...A_N$A1​...AN​

2. 基于$\arg \max J(A)$argmaxJ(A)选择最大的那组动作序列。

CEM的思想：

假设当动作序列$A_1....$A1​....服从分布p

1. 采样$A_1...A_N$A1​...AN​依照分布p(A)
2. 评估这N组动作序列 $J(A_1)...J(A_N)$J(A1​)...J(AN​)
3. 从N组序列中选择M个效果最好的$A_{1}^*...A_{M}^*$A1∗​...AM∗​，这里M<N
4. 用$A_{1}^*...A_{M}^*$A1∗​...AM∗​去重新拟合分布p(A)。使得下次我们按照这个分布的采样能够得到更高的 J 。跳转到步骤1继续循环。

通常来说使用高斯分布能够得到更好的效果。随着CEM的迭代，p能更好的拟合J的分布。

优点

• 如果并行就非常快
• 十分简单

缺点

• 高纬度限制，超过100维就很难了。
• 只能用在开循环的规划（open-loop planning）

2.3.2 MCTS

对于离散问题的规划，可以使用搜索树的思想。

如果从起始状态开始，每一个绘制出每一个动作和状态的树图，那么找到最理想的动作序列就很容易了。

但是叶节点的数量是指数增长的，如果想要遍历所有路径，对于大规模问题来说显然是不实际的。

所以我们需要对数进行剪枝处理。

MCTS的基本流程：（循环）

1. 使用TreePolicy(s1)策略选择一个叶节点$s_l$sl​
2. 使用DefaultPolicy($s_l$sl​)评估该叶节点
3. 更新从$s_1$s1​到$s_l$sl​所有的价值，并且在s1装填选择最好的动作。回到1第一步。

其中TreePolicy是选择叶节点的一种方法，以UCT TreePolicy($s_t$st​)为例：

• 如果$s_t$st​下的某些动作没有尝试，那么就选择一个新的动作$a_t$at​

• 如果所有的动作都尝试过了，那么就选择子节点$Score(s_{t+1})$Score(st+1​)最高的。
  $Score(s_t) = \frac{Q(s_t)}{N(s_t)} + 2C \sqrt{\frac{2\ln N(s_{t-1})}{N(s_t)}}$Score(st​)=N(st​)Q(st​)​+2CN(st​)2lnN(st−1​)​​

  Q为$s_t$st​节点的状态动作价值

  N为$s_t$st​节点的访问次数

DefaultPolicy()如果很好，就能得到一个很好的价值估计。实际上经常使用随机策略，因为容易使用。

例：

• 第一次迭代：选择动作0，到达s2，通过DefaultPolicy的评估方法，得到该节点Q = 10, N = 1;

• 第二次迭代：然后依据TreePolicy，动作2没有选过，所以第二次循环选择动作2，评估得到Q = 12， N=1

  

• 第三次迭代，动作1，2都试过，所以我们选择Score大的，计算发现a1=1的叶节点Score较大。选择这个节点。然后发现这个节点还没有被探索，我们就选择一个动作到达s3。评估Q = 10 , 这个10代表这个s3以后的累计奖励是10， N = 1

​ 然后执行算法第3步，回溯这条路线的数据。更新a1,s2的Q = 10+12 = 22, N = 2;

• 第四轮次代：s1开始，选择的Score值较大的a1= 0; 然后在该状态下执行一个动作a2=0。同第三次迭代。

• 第五轮迭代：

  

• 第六轮迭代：

  

材料阅读

1. Browne, Powley, Whitehouse, Lucas, Cowling, Rohlfshagen, Tavener,
   Perez, Samothrakis, Colton. (2012). A Survey of Monte Carlo Tree
   Search Methods

案例分析材料：

1. Deep Learning for Real-Time Atari Game Play Using Offline Monte-Carlo Tree Search Planning

   ​ - Imitation learning from MCTS

2.2.3 LQR

接下来的字母表示有些改动：

我们是否可以直接使用求导的方式来优化问题呢？

shoot method:

只对动作u进行优化，即算法只通过改变u来达到最优值。对状态x没有控制。状态x是u的函数。只要动作改变，就会产生一个新的不同序列。

collocation method:

优化目标有状态x和动作u两个自变量，这两个自变量之间有额外的限制。这样虽然引入更多变量，但是波动较小

LQR属于shooting method，它的定义如下：

L：对model的假设是一个线性方程

Q：损失函数是二次的

R：Regression

中间推导过程详见ppt

最终算法描述：

上述针对的是deterministic，如果是stochastic环境，使用高斯分布去拟合。

原本的$x_{t+1} = f(x_t,u_t)$xt+1​=f(xt​,ut​)，那么介入高斯分布，则$p(x_{t+1}|x_t,u_t) = N(f(x_t,u_t), \sum_t)$p(xt+1​∣xt​,ut​)=N(f(xt​,ut​),∑t​)

LQR可以用在随机闭循环中。

2.2.4 DDP/Iterative LQR

这是LQR在非线性环境的使用。

LQR假设动力学环境是线性的，且cost是二次的。把非线性系统近似为一个线性的二次系统，得到如下：

这个是利用泰勒展开式在$(\hat x_t , \hat u_t)$(x^t​,u^t​)处展开，保留前两项。

·

注：泰勒展开式公式：**

Iterative LQR算法描述：

直观感受：在局部使用线性方程去拟合非线性的方程。

LQR原理：

事实上，iLQR是牛顿法求解

的一种近似方法。

牛顿法计算$\min_xg(x)$minx​g(x)迭代原理：

真正使用牛顿法求解，还需要对使用second order dynamics approximation(红框那项)

具体阅读材料：

1. Mayne, Jacobson. (1970). Differential dynamic programming.
   • Original differential dynamic programming algorithm.
2. Tassa, Erez, Todorov. (2012). Synthesis and Stabilization of Complex Behaviors through Online Trajectory Optimization.
   Practical guide for implementing non-linear iterative LQR.
3. Levine, Abbeel. (2014). Learning Neural Network Policies with Guided Policy Search under Unknown Dynamics.
   • Probabilistic formulation and trust region alternative to deterministic line search

案例材料

Nonlinear model-predictive control ：

1. Synthesis and Stabilization of Complex Behaviors through Online Trajectory Optimization, Yuval Tassa etc.

2. Synthesis of Complex Behaviors with Online Trajectory Optimization, Yuval Tassa etc.