CDQ分治学习

声明：此算法不适用于强制在线题。

一切是从归并排序求逆序对开始的。
我们先假装已经分治完左边和右边，又回溯到了某一处
CDQ分治学习
现在我们要合并了

左边和右边的答案已经算完
考虑跨越mid的逆序对的个数
注意到逆序对的定义, $i < j a_{i} > a_{j}$
首先 $i < j$ 是肯定可以保证的
所以需要考虑的仅仅是 $a_{i} > a_{j}$
做到这一点应该不难。

接下来引出简单又自然的CDQ分治

刚刚的归并排序求逆序对。就是一种cdq分治的应用。
cdq分治
考虑把区间分成左右两边分治
并且考虑左边对于右边的影响。
CDQ分治学习
假如有一个有修改有查询的操作序列。
要用CDQ分治处理
就可以分成左右两部分。

分治完左边，把左边对右边产生影响的东西单独抽出来，计算对右边的贡献。

再分治右边

CDQ分治的应用

二维偏序

给定N个有序数对(a,b)，求对于每个(a,b),满足a0< a且b0< b的有序数对(a0,b0)有多少个
这类问题通常是先把(a,b)按a排好序。以把问题进行问题降维。
接着就像归并排序求逆序对一样，通过不断对b归并来计算答案。

三维偏序

给定N个有序数对(a,b,c)求对于每个 (a,b,c),满足a0 < a且b0 < b且c0 < c的有序数对(a0,b0)有多少个。
是不是特别像二维偏序？
通常这类问题是一个二维偏序套线段树实现的。

四维以上的本博客均不介绍。