数据结构矩阵基础

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概述
特殊矩阵
稀疏矩阵

概述

矩阵是很多工程领域都需要的数学对象，在数据结构中主要讨论的是如何高效的存储矩阵的元（即矩阵中的元素）。

比如在矩阵的实际应用中，经常出现很多高阶矩阵存在很多相同元素或是0，为了节省空间就可以对其进行压缩，即多元素共享一个存储单元、不对0分配存储单元等。

假如值相同的元素或者零元素在矩阵中分布有一定规律，则称此类矩阵为特殊矩阵；反之则成为稀疏矩阵。下面分别看一下它们如何实现压缩存储。

特殊矩阵

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 中的元满足性质： $a_{ij} = a_{ji} \quad | \quad 1\leq (i, j) \leq n$ ，则称为 $n$ 阶对称矩阵。

对于对称矩阵而言，可以为每一对对称元只分配一个存储空间，这样一来 $n^2$ 个元就被压缩成了 $n(n+1) /2$ 个元的空间中。

我们可以以行序为主序存储其下三角（包括对角线）的元。假设以一维数组 $sa[n(n+1)/2]$ 作为 $n$ 阶对称矩阵 $A$ 的存储结构，则 $sa[k]$ 和矩阵元 $a_{ij}$ 之间存着一一对应关系：
$k = \begin{cases} \frac{i(i-1)}{2}+j-1 \quad |& i \geq j\\ \frac{j(j-1)}{2}+i-1 \quad |& i < j \end{cases}$
对于任意给定的下标(i,j)，均可在 $sa$ 中找到矩阵元 $a_{ij}$ 。反之，对所有的 $k=0,1,2, \dots, \frac{n(n+1)}{2}-1$ ，都能确定 $sa[k]$ 中的元位于矩阵中的(i,j)。 $sa[n(n+1)/2]$ 可以称为 $n$ 阶对称矩阵 $A$ 的压缩存储。这种存储方法同样可以用于三角矩阵。

稀疏矩阵

稀疏矩阵没有精确的定义，但有一个数值可以计算：

设在 $m \times n$ 的矩阵中有 $t$ 个元素不为零，定 $\delta = \frac{t}{mn}$ ，称 $\delta$ 为矩阵的稀疏因子，通常认为 $\delta \leq 0.05$ 时为稀疏矩阵。

对于稀疏矩阵，存储有不同的方式，可以采用三元组( $i, j, a_{ij}$ )顺序存储或是十字链表等方式。

三元组是用矩阵坐标及该位置元素存储的，即每个三元组对应矩阵中的一个元。有矩阵M如下：
$M= \begin {bmatrix} 0& 12& 9& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -3& 0& 0& 0& 0& 14\\ 0& 0& 24& 0& 0& 0\\ 0& 18& 0& 0& 0& 0\\ 15& 0& 0& -7& 0& 0 \end {bmatrix}$
则其对应的三元组即为 $[(1,2, 12), (1,3, 12), (3,1, -3), (3,6, 14), (4,3, 24), (5,2, 18), (6,1, 15), (6,4, -7)]$ 。

三元组的缺点在于当矩阵元插入时，可能需要大量的移动操作，因此也有十字链表的方式存储，这样一来就可以避免操作时需要耗费大量时间来移动三元组了，如下图：

数据结构矩阵基础

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