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我来简洁地解释一下。
1) 首先我们仅考虑实信号。
自相关的直观含义就是：把一个信号平移一段距离，跟原来有多相似。
于是就有了自相关的定义：
它代表了“移、乘、积”这三步操作。
如果只谈自相关，其实到此就可以结束了。
只不过，在信号处理领域中还有一个叫“卷积”的东西，在别的地方（已知线性时不变系统的冲激响应和输入，求响应）有用。
它跟自相关的定义很相似，包含了“卷、移、乘、积”四步操作：
左边有时也写作，表示这个函数是由x(t)和y(t)卷积而得的，但它的自变量是
。
我们发现卷积比自相关多了一步“卷”的操作，为了去掉这个多余的操作，我们先把原信号自己卷一下，就可以抵消掉卷积中的“卷”操作了。这就是自相关与卷积的关系：
2) 现在扩展到复数域。
自相关是要刻画一个信号平移后与原始信号的相似性。显然，不平移时应该是最相似的。
我们希望x(t)与x(t)本身相乘后积分时，各时间点的值能够因叠加而增强。
在实数域上x(t)直接自乘没有问题。在复数域上，x(t)自乘后辐角还是乱的。
如果对其中一个x(t)取一下共轭，相乘后辐角就统一变成0了，积分时就能够取得叠加增强的效果。
所以在复数域上，自相关是这样的：
（共轭取在前者还是后者上都可以，取决于作者的习惯）
“相关”这个运算其实就是一种内积。
作者：马同学
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从数学上讲，卷积就是一种运算。
某种运算，能被定义出来，至少有以下特征：
- 首先是抽象的、符号化的
- 其次，在生活、科研中，有着广泛的作用
比如加法：
- a+b，是抽象的，本身只是一个数学符号
- 在现实中，有非常多的意义，比如增加、合成、旋转等等
卷积，是我们学习高等数学之后，新接触的一种运算，因为涉及到积分、级数，所以看起来觉得很复杂。
卷积很直观呀，就是把二元函数 U(x,y) = f(x)g(y) 卷成一元函数 V(t) 嘛，俗称降维打击。。
怎么卷？
考虑到函数 f 和 g 应该地位平等，或者说变量 x 和 y 应该地位平等，一种可取的办法就是沿直线 x+y = t 卷起来：
1 卷积的定义
我们称 为
的卷积
其连续的定义为：
其离散的定义为：
这两个式子有一个共同的特征：
这个特征有什么意义？
我们令 ，那么
就是下面这些直线：
如果遍历这些直线，就好比，把毛巾沿着角卷起来：
此处受到 荆哲：卷积为什么叫「卷」积？ 答案的启发。
只看数学符号，卷积是抽象的，不好理解的，但是，我们可以通过现实中的意义，来习惯卷积这种运算，正如我们小学的时候，学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。
我们来看看现实中，这样的定义有什么意义。
2 离散卷积的例子：丢骰子
我有两枚骰子：
把这两枚骰子都抛出去：
求：
这里问题的关键是，两个骰子加起来要等于4，这正是卷积的应用场景。
我们把骰子各个点数出现的概率表示出来：
那么，两枚骰子点数加起来为4的情况有：
因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：
符合卷积的定义，把它写成标准的形式就是：
3 连续卷积的例子：做馒头
楼下早点铺子生意太好了，供不应求，就买了一台机器，不断的生产馒头。
假设馒头的生产速度是 ，那么一天后生产出来的馒头总量为：
馒头生产出来之后，就会慢慢腐败，假设腐败函数为 ，比如，10个馒头，24小时会腐败：
想想就知道，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒头，一天后会经历23小时的腐败。
如此，我们可以知道，一天后，馒头总共腐败了：
这就是连续的卷积。
4 图像处理
4.1 原理
有这么一副图像，可以看到，图像上有很多噪点：
高频信号，就好像平地耸立的山峰：
看起来很显眼。
平滑这座山峰的办法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周围去。用数学的话来说，就是把山峰周围的高度平均一下。
平滑后得到：
4.2 计算
卷积可以帮助实现这个平滑算法。
有噪点的原图，可以把它转为一个矩阵：
然后用下面这个平均矩阵（说明下，原图的处理实际上用的是正态分布矩阵，这里为了简单，就用了算术平均矩阵）来平滑图像：
记得刚才说过的算法，把高频信号与周围的数值平均一下就可以平滑山峰。
比如我要平滑 点，就在矩阵中，取出
点附近的点组成矩阵
，和
进行卷积计算后，再填回去：
要注意一点，为了运用卷积， 虽然和
同维度，但下标有点不一样：
我用一个动图来说明下计算过程：
写成卷积公式就是：
要求 ，一样可以套用上面的卷积公式。
这样相当于实现了 这个矩阵在原来图像上的划动（准确来说，下面这幅图把
矩阵旋转了
）：
此图出处：Convolutional Neural Networks - Basics
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互相关与卷积http://blog.sina.com.cn/s/blog_bf373a140101mixe.html
互相关
设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为：
它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。
线性卷积
在泛函分析中，是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与经过翻转和平移的g的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是"移动平均"的推广。
理解卷积的物理含义也许有点难，但是理解其计算却是相对容易，东南大学的数字信号课程里做了一个线性卷积的动画演示:线性卷积
因此，我们很容易理解，卷积和相关是相似的，两者就是多了一个旋转过程而已，卷积要先对Y轴旋转！
用卷积来表示相关就是：
通常来说，计算卷积都是在频域进行的，这主要是利用了FFT变换的卷积定理
快速傅里叶转换（FFT）计算卷积,在时域（time domain）做卷积相当于这两个信号的离散傅里叶转换在频域（frequency domain）做相乘。
因此，matlabz中计算相关和卷积都是在频域计算的，再转回时域，这可以简单用代码来验证一下：
Matlab计算互相关函数xcorr，计算卷积函数conv；
C = xcorr(x,y,'option')，如果x，y长度不同，matlab会自动给短向量后面补零，最终长度length=2*max(n,m)-1;
"biased"为有偏的互相关函数估计；
"unbiased"为无偏的互相关函数估计；
"coeff"为0延时的正规化序列的自相关计算；
"none"为原始的互相关计算，也是默认模式；
Z= conv(x,y,'shape')，两向量长度不需要一致，最后卷积长度length=n+m-1;
"full"为默认模式，返回全部卷积(n+m-1);
"same",返回中间部分卷积，长度与x相同(n);
"valid",返回中间没有用零填充部分的卷积值，用滑动窗的方法解释的话，就是第2个窗口能够完全被第一个窗口重合、包含的部分(max(n-max(0,m-1),0),因此如果n<m的话，返回值就不存在)。
% 卷积法计算互相关的验证程序
dt=0.1;
t=[0:dt:100];
x=5*sin(4*t);
y=3*cos(3*t);
[a,b]=xcorr(x,y);
plot(b*dt,a);
yy=3*cos(3*fliplr(t)); % 以Y为轴对称翻转 yy=fliplr(y);
c=conv(x,yy);
err = a-c;
subplot(3,1,1);
plot(b*dt,a,'k');
title('Corr','fontsize',16);xlabel('Logs','fontsize',12);
subplot(3,1,2);
plot(b*dt,c,'r');
title('Conv','fontsize',16);xlabel('Logs','fontsize',12);
subplot(3,1,3);
plot(b*dt,err,'g');
title('Error','fontsize',16);xlabel('Logs','fontsize',12);
% 这里误差小于1e-13，本人认为是由matlab的数值误差所引起，可以忽略。