对自然数e的理解，推导(基础)

对自然数e的理解，推导(基础)

在前面的博文 古典概型事件数计算, 分房，配对，乱序(概统1)一文中，已经写到了对e的理解，在n把钥匙配n把锁的”乱序配对”问题中，当n很大时，n把钥匙与n把锁乱序后配对，无一配对成功的概率是1e$\frac{1}{e}$ 大约是0.37，大约是13$\frac{1}{3}$的概率，那么至少有一把锁和钥匙能够成功配对的概率是(1-1e$\frac{1}{e}$)，大约是23$\frac{2}{3}$的概率。

因为对e的理解很重要，而且看到很多网文仅仅只是举例说明，这里再来说说我的直观理解，关键是 ”直观“。

直观来理解，e就是一个将单位时间无限细分，细分无限迭代的极限。比如银行计算利息，时间范围是1年，做无限分割，得到无限个利息增长的小段（1n，或者xn$\frac{1}{n}，或者\frac{x}{n}$)，这些小段利息再无限迭代，就是(1+1n)$(1+\frac{1}{n})$ 或者 (1+xn)$(1+\frac{x}{n})$ n次相乘，得到的结果就是e或者ex$e^x$

e的分解：

ex$e^x$ = ∑∞i=0(x)ii!$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x{)}^i}{i!}$
ex$e^x$ = 1+x+(x)22!+(x)33!+...+(x)n1n!$\frac{(x{)}^2}{2!}+\frac{(x{)}^3}{3!}+...+(x{)}^n\frac{1}{n!}$
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近似计算（e<4）的情况，e的指数越大，后面的项越大，越需要多项展开）：
ex$e^x$ = 1+x+(x)22+(x)36+(x)424+(x)5120$\frac{(x{)}^2}{2}+\frac{(x{)}^3}{6}+\frac{(x{)}^4}{24}+\frac{(x{)}^5}{120}$
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下面是根据e的定义得出的公式
根据e的定义，e 就是 n次细分再n次乘积，并且 n−>∞$n->\mathrm{\infty }$ ，可得：
e$e$ = ∑∞i=01i!$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i!}$ = limn−>∞(1+1n)n$\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$
ex$e^x$ = ∑∞i=0(x)ii!$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x{)}^i}{i!}$= limn−>∞(1+xn)n$\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n$
设n=x*t; 得到 xn$\frac{x}{n}$ = 1t$\frac{1}{t}$
ex$e^x$ = limn−>∞(1+xn)n$\underset{n->\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{x}{n}{)}^n$= limt−>∞(1+1t)tx$\underset{t->\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{t}{)}^{tx}$

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思考问题1：
由上面已知，当n趋于正无穷的时候，即 limn→∞(1+1n)n$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ = e;
那么，如果n趋于负无穷呢？即 limn→−∞(1+1n)n$\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ = e; 成立吗？怎样证明？
用limx→0(1+x)1x$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$=e 来证明
已知：limn→∞(1+1n)n=e$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$； (1)
设n=1x$n=\frac{1}{x}$;
(1)式变成
limx→0(1+x)1x=e$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$; (2)
当n→−∞$n\to -\mathrm{\infty }$时，表达式是：
limn→−∞(1+1n)n$\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ ; (3)
设 y=1n$y=\frac{1}{n}$;
已知n→−∞$n\to -\mathrm{\infty }$，可得 y→0$y\to 0$;
(3)式变成
limn→−∞(1+1n)n$\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$
=limy→0(1+y)1y$\underset{y\to 0}{lim}(1+y{)}^{\frac{1}{y}}$ ；
由(2)式，可得
=limy→0(1+y)1y$\underset{y\to 0}{lim}(1+y{)}^{\frac{1}{y}}$ =e；(4)
因此
limn→−∞(1+1n)n$\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ = e; (5)
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可以写成
limn→∞(1+1n)n$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ = e; (6)
limn→−∞(1+1n)n$\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ = e; (7)
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因此，无论n→∞$n\to \mathrm{\infty }$或者n→−∞$n\to -\mathrm{\infty }$，都有
(1+1n)n=e$(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$; (8)

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1e$\frac{1}{e}$ = e−1$e^{-1}$
e−1$e^{-1}$ =∑∞i=0(−1)ii!$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{i!}$
e−1$e^{-1}$ =12!−13!+14!−15!+...+(−1)n1n!$\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+...+(-1{)}^n\frac{1}{n!}$

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思考问题2：
ex$e^x$的泰勒级数展开多项式中，哪一项的值最大？
答案是：x等于哪个数就是哪项的值最大， 即恰好第x项的值最大。
比如，对x=1，
e1$e^1$ = 1+1+(1)22+(1)36+(1)424+(1)5120+...$\frac{(1{)}^2}{2}+\frac{(1{)}^3}{6}+\frac{(1{)}^4}{24}+\frac{(1{)}^5}{120}+...$
=1+1+12+16+124+1120+...$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+...$
=1+1+0.5+0.167+0.04+0.008+…;
第一项最大 x=1。
===
对x=2:
e2$e^2$ = 1+2+(2)22+(2)36+(2)424+(2)5120+...$\frac{(2{)}^2}{2}+\frac{(2{)}^3}{6}+\frac{(2{)}^4}{24}+\frac{(2{)}^5}{120}+...$
=1+2+42+86+1624+32120+...$\frac{4}{2}+\frac{8}{6}+\frac{16}{24}+\frac{32}{120}+...$
=1+2+2+1.33+0.67+0.27+…;
第一项及第二项 都是最大(x)22=222=2$\frac{(x{)}^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2$；
===
x=3，
e3$e^3$ = 1+3+(3)22+(3)36+(3)424+(3)5120+...$\frac{(3{)}^2}{2}+\frac{(3{)}^3}{6}+\frac{(3{)}^4}{24}+\frac{(3{)}^5}{120}+...$
=1+3+92+276+8124+243120+...$\frac{9}{2}+\frac{27}{6}+\frac{81}{24}+\frac{243}{120}+...$
=1+3+4.5+4.73+3.3+2.05+…;
第三项 最大(x)36=336$\frac{(x{)}^3}{6}=\frac{3^3}{6}$=4.73；
===
x=4，
e4$e^4$ = 1+4+(4)22+(4)36+(4)424+(4)5120+...$\frac{(4{)}^2}{2}+\frac{(4{)}^3}{6}+\frac{(4{)}^4}{24}+\frac{(4{)}^5}{120}+...$
=1+4+162+646+25624+1024120+...$\frac{16}{2}+\frac{64}{6}+\frac{256}{24}+\frac{1024}{120}+...$
=1+4+8+10+12+8.5+…;
第四项 最大(x)424=4424=25624$\frac{(x{)}^4}{24}=\frac{4^4}{24}=\frac{256}{24}$=12；
以此类推…..

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e的直观意义：e就是把一个单位范围内的增长细分再相乘的极限。**

比如银行计息，如果一年的利息是100%，一年计一次息，年底就是（1+1）1$（1+1{）}^1$=2，年底余额等于年初的2倍，如果银行每月计一次息，那么每月利息只有年利息的112$\frac{1}{12}$，但是每月计息，一年要乘12次，就是（1+112)12$（1+\frac{1}{12}{)}^{12}$，年底余额大约等于年初的2.7倍。如果一年的利息是x，每个月计一次息，每月利息只有x12$\frac{x}{12}$，一年要计息12次，就是（1+x12)12$（1+\frac{x}{12}{)}^{12}$，当计息频率越来越快的时候，每次分割部分越来越小，相乘次数越来越多，到年底的时候，极限本金加利息就是ex$e^x$

再直观一点理解，e就是频率加快的极限。频率加快，分割变细，乘积次数变多，最后乘积的极限数值就是e.

e的本质就是将一个单位范围内的增长细分再相乘的极限。分段越来越细，乘积越来越多，细分乘积到最后的极限，就是e， e其实就是一个无限分割带增长的极限。从这个意义上来说，e也有点类似于圆周率π$\pi$，π$\pi$是将围绕着中心的直线无限分割，最后得到周长除以直径的比例，可以无限分割，是无理数。e是将一段时间（比如银行计算利息，1年的范围）无限分割，得到无限个利息增长的小段（1n，或者xn$\frac{1}{n}，或者\frac{x}{n}$)，这些增长小段再无限迭代，表现为(1+1n)$(1+\frac{1}{n})$ 或者(1+xn)$(1+\frac{x}{n})$ 再n次相乘，可以无限分割，最后得到的乘积结果就是e，或者ex$e^x$

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银行计息图片示例：