数字信号的最佳接收理论

1.1引言

对于一个数字通信系统， 我们可以这样来理解：

发送的消息对应于信源，（消息是信息的载体）， 消息的集合就构成所谓的消息空间。（例如， 由 26 个字母组成的英语消息空间）。 消息要通信， 必须转化成适合于信道传输的信号（即通常意义下的调制）， 并且此对应是一一对应的， 那么消息空间就一一对应信号空间中的信号。 在信号空间中， （如调制信号） 信号被设计成适合于信道传输的形式， 如对于带通型的信道， 则信号应该是带通型的信号。

在某一个码元传输时间内， 消息空间中发送的消息是随机产生的， 因此对应于消息空间的传输信号也是随机的， 但是由于信号空间中各种信号是确定的（如二进制 2PSK 信号空间中， 两个信号分别是$\pm Acos(2 \pi f_c t)$±Acos(2πfc​t)）， 因此我们说传输信号是确定的， 经过信道后由于信道白噪声的加入， 使接收信号在接收端变成了随机的信号。 例如， 对于， 对于二进制调制信号的接收为： $\pm Acos(2 \pi f_c t) + n(t)$±Acos(2πfc​t)+n(t)。

假设接收时载波和时间是同步的， 则在某个码元时间内， 从接收机的角度看， 接收机收到信号空间中某个经过噪声污染的信号， 但是它并不知道当前时段内传送的是什么消息。 接收机的主要任务是确定一种判断方法， 以接收到的信号为基础判断当前的发送信息是什么？我们知道， 确定判决方法是很容易的， 但是什么样的判决方法是最佳的呢？ 这就是数字信号的最佳接收机试图解决的问题。

最佳的含义： 在我们这章中， 我们说的最佳就是指符合通信误码率最小的准则。

接收机根据接收信号 Y， 判断 X。 它的工作一般可以分为（或者可以等效成） 两部分，
一部分把接收的波形 $y(t)$y(t) 处理后得到一个判决依据 R， 叫“判决量”， 另一部分进行判决。如图 1-1示。

1.2等效基带信号和窄带信号

引入等效基带信号的目的是为了将基带传输与调制传输系统统一起来， 从等效基带的观点来看， 调制信号只是等效基带信号的频谱搬移。

1.2.1等效基带信号的基本概念

假设一个信号 $s(t)$s(t)是一个中心频率为$f_c$fc​的窄带带通信号， 且 $s(t)$s(t)是实数信号， 则我们的目的是推导出这种信号的数学表示式。

$s(t)$s(t)的频谱是双边的， 假设构造$S_+(f)$S+​(f)表示$S(f)$S(f)的右半边部分， 则

我们可以通过$S_+(f)$S+​(f)进行频率搬移得到等效基带信号 $s_l(t)$sl​(t)的频谱$S_l(f)$Sl​(f)

1.2.2线性带通系统的表示

线性带通系统的系统响应函数$H(f)$H(f)， 如果冲击响应$h(t)$h(t)是实数， 则

1.2.3带通信号通过带通系统的响应

假设带通信号
带通系统的冲击响应 $h(t)$h(t)，则输出信号也是一个带通信号， 可以表示成


也就是说， 我们用等效基带信号分析的结果与实际带通系统的结果是一致的。

1.3几种调制信号的信号空间表示

一、PAM信号
1、 PAM 信号的等效基带表示

2、 PAM 信号的矢量表示

3、 对于 2PSK 信号
$s_1(t) = -s_2(t)$s1​(t)=−s2​(t)

二、 PM 信号
1、 PM 信号的等效基带表示

2、 PM 信号的矢量表示

3、 4PSK 星座举例

三、 QAM 信号
1、 QAM 信号的等效基带表示

2、 QAM 信号的矢量表示