傅里叶分析 & 应用

傅里叶级数：Fourier Serie

• 傅里叶级数针对周期性函数：任意周期函数都可写成三角函数之和
• 公式
  • $f(x) = a_0 \times 1 + \sum_{i=1}^{\infty}(a_i \times cos(\frac{2 \times \pi \times i}{T} \times x) + b_i \times sin(\frac{2 \times \pi \times i}{T} \times x)) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}(g_k(x))$f(x)=a0​×1+∑i=1∞​(ai​×cos(T2×π×i​×x)+bi​×sin(T2×π×i​×x))=∑k=−∞∞​(gk​(x))
    • $g_k(x) = a_k \times e^{j \times k \times (\frac{2 \times \pi}{T}) \times x}$gk​(x)=ak​×ej×k×(T2×π​)×x，其中欧拉公式为：$e^{j \times \theta} = cos(\theta) + j \times sin(\theta)$ej×θ=cos(θ)+j×sin(θ)
    • $a_0 \in \mathbb{R}$a0​∈R
    • $T$T为函数周期
  • 时域：$f(x)$f(x)函数
  • 频域：以$(1, cos(i \times x)/sin(i \times x))$(1,cos(i×x)/sin(i×x))为基的对应向量$(a_0, a_i/b_i)$(a0​,ai​/bi​)。叠加波的映射
  • 即：级数$i$i越大，频域向量维度变高，越密集。周期$T$T越大，频域越密集（正弦/余弦图更紧凑）
  • $g_k(x)$gk​(x)是周期为$T$T的周期函数，$k$k值不同时，周期信号具有谐波关系(即它们都具有一个共同周期$T$T)。$k \times (\frac{2 \times \pi}{T})$k×(T2×π​)即为$k$k次谐波，其中$k=0$k=0时为常值$a_0$a0​
• 本质：是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）波

傅里叶变换：Fourier Transformation

• 时域是叠加波，频域就是几条竖线（振幅就是高度），时域很复杂的东西，很可能在频域就很简单。
• $A \times sin(w \times x + \theta)$A×sin(w×x+θ)
  • $A$A：振幅
  • $w$w：频率
  • $\theta$θ：相位
• $F(w)$F(w)叫做$f(t)$f(t)的象函数，$f(t)$f(t)叫做$F(w)$F(w)的象原函数
  • 傅里叶变换：$F(w) = \mathscr{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty}(f(t) \times e^{-i \times w \times t})\mathrm{d}t$F(w)=F[f(t)]=∫−∞∞​(f(t)×e−i×w×t)dt
  • 傅里叶逆变换：$f(t) = \mathscr{F}^{-1}[F(w)] = \frac{1}{2 \times \pi} \times \int_{-\infty}^{\infty}(F(w) \times e^{i \times w \times t})\mathrm{d}w$f(t)=F−1[F(w)]=2×π1​×∫−∞∞​(F(w)×ei×w×t)dw
• 指数形式傅里叶变换：欧拉公式

关系

• 傅里叶级数：时域是一个周期且连续的函数，而频域是一个非周期离散函数
• 傅里叶变换：将一个时域非周期的连续信号，转化为一个在频域非周期的连续信号
  
• 一个极度有意思的总结图
  

应用

• 周期时间序列
  • R：fourier。参考$k$k为级数
• 滤波（图像，音频，交易信号）：去掉特点的频率成分，在频域就是去掉其对应的竖线
• 求解微分方程：时域的需要计算微分和积分，映射到频域就是加减法
• …

Python API：scipy.fft; numpy.fft

• fft：一维离散傅里叶变换。返回傅里叶级数展开的$y_i$yi​
• ifft：一维离散傅里叶逆变换
• fft2, ifft2：同上
• fftn, ifftn：$n$n维
• rfft：入参接受为实数，略掉虚数部分
• irfft：逆函数
• hfft：Compute the FFT of a signal that has Hermitian symmetry

Reference

• 从傅里叶级数到傅里叶变换
• 百度百科 傅里叶级数
• R fourier
• 知乎专栏-与时间无关的故事
  -傅里叶分析：傅里叶级数与变换的关系图片均来源于此
• 百度百科-傅里叶变换