第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图

5.1 Smith圆图

$\Gamma = {\Gamma _r} + j{\Gamma _i} = \left| \Gamma \right|{e^{j{\theta _L}}} = \left| \Gamma \right|\angle {\theta _L}$ ★
$0 \le \left| \Gamma \right| \le 1$

无耗传输线
$\Gamma \left( d \right) = {\Gamma _0}{e^{ - j2\beta d}} = {\Gamma _0}{e^{j2\beta z}}$

归一化电阻

第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图
圆心 $\left( {\frac{r}{{1 + r}},0} \right)$
半径 $\left( {\frac{1}{{1 + r}}} \right)$
半径越小，电阻r越大
单位圆内， $-1<{\frac{1}{{1 + r}}}<1$ ，电阻 $0≤r<∞$

归一化电抗

第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图
圆心 $\left( {1,\frac{1}{x}} \right)$
半径 $\left( {\frac{1}{x}} \right)$
半径越小，电抗x越大

归一化阻抗rx

第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图

等驻波比圆

$SWR = \frac{{1 + \left| \Gamma \right|}}{{1 - \left| \Gamma \right|}}{\rm{ }} \Rightarrow \left| \Gamma \right| = \frac{{SWR - 1}}{{SWR + 1}}$ ★
圆心原点，代表匹配点：
终端匹配 ${Z_L} = {Z_0} \Rightarrow {\Gamma _0} = 0$
半径 $\left| \Gamma \right|$
圆与实轴的交点处的对应归一化阻抗的r值=SWR值

导纳gb

$y = \frac{1}{z} = \frac{{{Z_0}}}{Z} = \frac{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 Z}} \right.} Z}}}{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{Z_0}}}} \right.} {{Z_0}}}}} = \frac{Y}{{{Y_0}}} = {y_r} + j{y_i} = \frac{{1 - \Gamma }}{{1 + \Gamma }} = \frac{{1 + {e^{j\pi }}\Gamma }}{{1 - {e^{j\pi }}\Gamma }}$ ★
${e^{j\pi }} = - 1$
可以看出，这相当于将 $\Gamma$ 旋转180度
将z对应的点旋转180度，再读出的z值就是导纳值
将坐标系旋转180度读出的值就是对应的导纳值

对比

★★★		阻抗圆图	导纳圆图
圆心在上半平面1/x>0	电感性	电抗x>0	电纳b<0
圆心在下半平面1/x<0	电容性	电抗x<0	电纳b>0
最左边	短路点	阻抗 $z=0$	导纳 $y→∞$
最右边	开路点	阻抗 $z→∞$	导纳 $y=0$

第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图
顺时针向信号源方向
逆时针向负载方向

5.2 分立元件匹配网络

内阻为ZS的电压源连接阻抗为ZL的负载，要使负载上要获得大的实功功率，需满足 ${Z_S} = Z_L^ *$
实际电路中，这种条件往往得不到满足
要得到最大的功率传输需要在电源和负载之间插入一个网络
插入网络不能消耗能量，因此只能是LC网络
第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图
常用的匹配网络有L $\left( \Gamma \right)$ 形，T形和π形网络。
设计方法有解析法、Smith圆图法等
解析法计算结果准确，但不够直观
Smith圆图则较为直观，容易
实际上Smith圆图也以解析式为基础，利用计算机辅助设计，也可以方便、精确的做到阻抗匹配。
Smith圆图做阻抗匹配的基本思想是用特定的线段代表加入的匹配元件，当源阻抗点通过特定的线段与目标阻抗点连接时，就完成了阻抗匹配
假设有一个负载，阻抗为ZL ，在Smith圆图上表示为一个点。即归一化阻抗点
由于Smith圆图是阻抗图和导纳图合为一体的，因此同一个点可以表示为阻抗形式或导纳形式
${z = \frac{{{Z_L}}}{{{Z_0}}}{\rm{ = }}r + jx}\\ {y = \frac{{{Y_L}}}{{{Y_0}}} = g + jb}$
${{Y_L} = \frac{1}{{{Z_L}}}}\\ {{Y_0} = \frac{1}{{{Z_0}}}}$
第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图

★★★	源阻抗
串联电感	沿着等电阻圆（单位圆内，圆心靠右的）	向顺时针移动
串联电容	沿着等电阻圆（单位圆内，圆心靠右的）	向逆时针移动
并联电感	沿着等电导圆（单位圆内，圆心靠左的）	向逆时针移动
并联电容	沿着等电导圆（单位圆内，圆心靠左的）	向顺时针移动

移动距离可以从坐标增量中读出。
第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图

L形匹配网络

双元件匹配网络的8种电路结构
第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图

最佳功率传输

实现最佳功率传输的常规设计程序一般包括以下几个步骤
1、求出归一化源阻抗和目标阻抗（负载共轭）
在Smith圆图中标记两个阻抗点
2、在Smith圆图中分别过这两个点画出等电阻圆或等电导圆
3、找出第1步和第2步所画出圆的交点
交点的个数=可能存在的L形匹配网络的数目
4、先沿着相应的圆将源阻抗点移动到上述交点，然后再沿相应的圆移动到目标阻抗点，根据这两次移动过程就可以求出电感和电容的归一化值
5、根据给定的工作频率确定电感和电容的实际值

1、在上述步骤中，并不是一定要必需从源阻抗点向负载的共轭复数点移动
也可以将负载阻抗点变换到源阻抗的共轭复数点。
2、由于插入网络总是串并联相间，因此过一个点画等电阻（电导）圆，过另一个点就画等电导（电阻）圆
一般说来
电阻较大的点画等电导圆
电阻较小的点画等电阻圆

例题 ★教材276页 PDF292页

第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图
已知晶体管在1.5GHz频率点的输出阻抗是 ${Z_{\rm{T}}} = (100 + {\rm{j}}50)\Omega$
请设计一个如图所示的L形匹配网络，使输入阻抗为 ${Z_{\rm{A}}} = (50 + {\rm{j}}10)\Omega$ 的天线能够得到最大功率
解：首先计算归一化阻抗，假设特征阻抗=50欧姆
特征阻抗可以任意设定，计算方便就行
${Z_0} = 50\Omega$ ， ${Y_0} = 0.02{\Omega ^{ - 1}}$
归一化输出阻抗 ${z_{\rm{T}}} = {Z_{\rm{T}}}/{Z_0} =(100 + {\rm{j}}50)/50 = 2 + {\rm{j}}$
归一化输出导纳 ${y_T} = 1/{z_{\rm{T}}}=0.4 - j0.2$
归一化输入阻抗的共轭 ${z_{\rm{M}}} = z_{\rm{A}}^ * ={{Z_A^ * }}/{{{Z_0}}} = (50 - {\rm{j}}10)/50 = 1 - {\rm{j}}0.2$
归一化输入导纳的共轭 ${y_M} = 1/{z_{\rm{M}}} = 0.92 + j0.19$
归一化交点阻抗 ${z_{{\rm{TC}}}} = 1 - {\rm{j}}1.22$
和归一化输入阻抗的共轭 ${z_{\rm{M}}}$ 等电阻
归一化交点导纳 ${y_{{\rm{TC}}}} = 0.4 + {\rm{j}}0.49$
和归一化输出阻抗 ${z_{\rm{T}}}$ 等电导

由图可知，归一化输出阻抗 ${z_T} = 2 + j$ →
归一化交点阻抗 ${z_{{\rm{TC}}}} = 1 - {\rm{j}}1.22$ →
归一化输入阻抗的共轭 ${z_M} = 1 - j0.2$
先沿着等电导圆向顺时针移动，所以先并联电容
再沿着等电阻圆向顺时针移动，所以再串联电感
归一化电容→归一化交点导纳 - 归一化输出导纳末-初
归一化电容 ${\rm{j}}{b_{\rm{C}}} = {y_{{\rm{TC}}}} - {y_{\rm{T}}} = {\rm{j}}0.69= {{j\omega C}}/{{{Y_0}}}$ ★
归一化电感→归一化输入阻抗的共轭 - 归一化交点阻抗末-初
归一化电感 ${\rm{j}}{x_{\rm{L}}} = {z_{\rm{A}}} - {z_{{\rm{TC}}}} = {\rm{j}}1.02= {{j\omega L}}/{{{Z_0}}}$ ★
实际电容 $C = \frac{{{Y_0}{b_{\rm{C}}}}}{\omega } = \frac{{0.02 \times 0.69}}{{2\pi \times 1.5 \times {{10}^9}}} = 1.5 \times {10^{ - 12}} = 1.5pF$
实际电感 $L = \frac{{{Z_0}{x_{\rm{L}}}}}{\omega } = \frac{{50 \times 1.02}}{{2\pi \times 1.5 \times {{10}^9}}} = 5.4 \times {10^{ - 9}} = 5.4nH$
第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图
从Smith图上可以看到，两圆之间还有一个交点
通过这个交点也可以进行阻抗匹配
具体选用哪种网络，可根据其它条件而定
如高低通特性，元件值的合理性等等

8.1.2 匹配禁区教材280页 PDF296页

Smith圆图的匹配禁区：网络拓扑无法在任何负载阻抗和源阻抗之间实现预期的匹配。
由于 $Z_S＝50$ ，匹配从圆图的中心点开始，到达 $Z_L^*$
可以看出，如果 $Z_L$ 在阴影区中，那么 $Z_L^*$ 和 $Z_L$ 关于 $\Gamma$ 平面的实轴对称，从从圆图的中心点开始，无法到达 $Z_L^*$ ，该匹配网络不能匹配该负载★★
第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图

★★★	源阻抗
串联电感	沿着等电阻圆（单位圆内，圆心靠右的）	向顺时针移动
串联电容	沿着等电阻圆（单位圆内，圆心靠右的）	向逆时针移动
并联电感	沿着等电导圆（单位圆内，圆心靠左的）	向逆时针移动
并联电容	沿着等电导圆（单位圆内，圆心靠左的）	向顺时针移动

5.3 LC串并联谐振回路

节点品质因数
第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图

8.1.3 T形匹配网络和π形匹配网络

L形匹配网络元件较少，很难同时满足匹配和Q值得要求，需要更多的器件，以提供更多的选择方案
一般匹配网络的器件扩展原则是串并交替
因此从L形进行一元件扩展得到T形或Π形匹配网络。

T形匹配网络教材285页 PDF301页例8.5

设计一个T形匹配网络，要求该网络将[{Z_{\rm{L}}} = (60 - {\rm{j}}30)\Omega ]的负载阻抗变换成的输入阻抗，且最大节点品质因数等于3
假设工作频率，计算匹配网络的元件值。

π形匹配网络教材286页 PDF302页例8.6

5.4 微带线匹配网络

工作频率的提高导致工作波长的减小，分立元件的寄生参数效应变得明显，分布参数元件就代替了分立元件得到广泛应用

5.4.1 从分立元件到微带线

在中间过渡频段（例如几吉赫兹到几十吉赫兹），可以采用分立元件和分布参数元件混合使用的方法。
从拓扑结构上讲，这种匹配方案用微带传输线代替电感以解决高频实现的问题
从图形概念上讲，是用驻波比圆代替等电阻圆作图

教材288页 PDF304页例8.7

首先归一化阻抗，在Smith圆图上标出两阻抗点
分别通过ZL和Zin画两个驻波比圆
选择与两圆都相交的等电导线作为过渡，确定A、B两点
ZL与A两点的夹角计算传输线长度l1
A、B两点导纳增量计算电容量
B与Zin之间的夹角计算传输线长度l2

8.2.2

传输线（微带线）加上电容的匹配方案几乎可以匹配任何网络
但电容器件必须是标准容值的电容，可变性不好
根据短路或开路传输线的输入阻抗有电感或电容的特性：
${Z_{in}} = {Z_0}\frac{{{Z_L} + j{Z_0}tg\beta d}}{{{Z_0} + j{Z_L}tg\beta d}}{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} {Z_L} = 0;{\rm{ }}{Z_{in}} = j{Z_0}tg\beta d\\ {Z_L} \to \infty ;{\rm{ }}{Z_{in}} = {\rm{ - }}j{Z_0}ctg\beta d \end{array} \right.$
如果用它们代替电感或电容，便构成短截线匹配网络
电感电容值由传输线传输常数和线长度所确定，从而解决调谐问题

短截线匹配的思想：
以网络输入端为参考，匹配可以分两个部分来考虑。
1、实部匹配，传输线完成
2、虚部匹配，串并联短截线完成
3、计算方法：
并联短截线，用导纳计算
串联短截线，用阻抗计算

工作原理

实部匹配

$t = tg\beta d$
${Z_L} = {R_L} + j{X_L}$
${Y_L} = {G_L} + j{B_L}$
${Z_{in}} = {Z_0}\frac{{{Z_L} + j{Z_0}tg\beta d}}{{{Z_0} + j{Z_L}tg\beta d}}$
${Y_{in}} = {Y_0}\frac{{{Y_L} + j{Y_0}tg\beta d}}{{{Y_0} + j{Y_L}tg\beta d}}$

以并联短截线为例
${Z_{in}} = {Z_0}\frac{{{Z_L} + j{Z_0}tg\beta d}}{{{Z_0} + j{Z_L}tg\beta d}} = {Z_0}\frac{{{R_L} + j\left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)}}{{\left( {{Z_0} - {X_L}t} \right) + j{R_L}t}}$
${Y_{in}} = \frac{1}{{{Z_0}}} \times \frac{{\left( {{Z_0} - {X_L}t} \right) + j{R_L}t}}{{{R_L} + j\left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)}}$
${G_{in}}{\rm{ = }}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) = \frac{{{R_L}\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{R_L^2 + {{\left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)}^2}}}$
${B_{in}}{\rm{ = }}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) = \frac{{R_L^2t + \left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)\left( {{X_L}t - {Z_0}} \right)}}{{{Z_0}\left[ {R_L^2 + {{\left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)}^2}} \right]}}$

实部匹配方法一

取适当的 t 值，使其达到
${\mathop{\rm Re}\nolimits} ({Y_S}) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) = \frac{{{R_L}\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{R_L^2 + {{\left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)}^2}}}$
${Y_S} = \frac{{{R_L}\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{R_L^2 + {{\left( {{Z_0}t + {X_L}} \right)}^2}}}$
得到t
$\frac{d}{\lambda } = \frac{1}{{2\pi }}t{g^{ - 1}}t,{\rm{ t > 0}}$
$\frac{d}{\lambda } = \frac{1}{{2\pi }}\left( {\pi + t{g^{ - 1}}t} \right),{\rm{ t < 0}}$

实部匹配方法二

令 $t \to \infty$ 于是 $d = {\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda 4}} \right.} 4}$
令传输线阻抗为 $Z_{0L}$
${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{{R_L}\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{R_L^2 + {{\left( {{Z_{0L}}t + {X_L}} \right)}^2}}} = \frac{{{R_L}}}{{Z_{0L}^2}}$
${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{R_L^2t + \left( {{Z_{0L}}t + {X_L}} \right)\left( {{X_L}t - {Z_{0L}}} \right)}}{{{Z_{0L}}\left[ {R_L^2 + {{\left( {{Z_{0L}}t + {X_L}} \right)}^2}} \right]}} = \frac{{{X_L}}}{{Z_{0L}^2}}$
改变参数Z0，使 ${Y_S} = \frac{{{R_L}}}{{Z_{0L}^2}}$

虚部匹配

确定实部匹配后，虚部为一固定值，并联或串联短截线后使
$- {B_S} = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) + B$
B为并联短截线电纳
$B = - \left[ {{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{Y_{in}}} \right) + {B_S}} \right]$

短截线长度

开路线
$\frac{l}{\lambda } = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{2\pi }}t{g^{ - 1}}\frac{B}{{{Y_0}}},B > 0\\ \frac{1}{{2\pi }}\left[ {\pi - t{g^{ - 1}}\frac{B}{{{Y_0}}}} \right],B < 0 \end{array} \right.$
短路线
$\frac{l}{\lambda } = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{2\pi }}ct{g^{ - 1}}\frac{B}{{{Y_0}}},B < 0\\ \frac{1}{{2\pi }}\left[ {\pi - ct{g^{ - 1}}\frac{B}{{{Y_0}}}} \right],B > 0 \end{array} \right.$
注意：
如果用解析法求解，传输线与短截线的特征阻抗可以任意选择
可以相同，也可以不同。
但是，如果用Smith圆图求解，所有归一化变量所用的特征阻抗必须相同。

单节短截线图解法

假设源端的阻抗为Z0，则只需将负载匹配到Z0即可
并联短截线采用导纳图求解
串联短截线采用阻抗图求解

例：给定负载阻抗为ZL=100+j132，匹配到特征阻抗=50欧姆
1）首先归一化阻抗 ，在Smith圆图上标出该点
${{{Z_L}}}/{{{Z_0}}} = 2 + j2.64$
${\Gamma _{{Z_L}}} = 0.707\angle {25.9^ \circ }$
2）过该点在Smith圆图画出对应的SWR圆
3）找到SWR圆与1电导圆（1电阻圆）的交点（两个）
${\Gamma _{y1}} = 0.707\angle - {135^ \circ }$
${\Gamma _{y2}} = 0.707\angle + {135^ \circ }$
4）求出电纳（电抗）值
5）由负载向源方向求出传输线长
${d_1} = 0.223\lambda$ 、 ${d_2} = 0.348\lambda$
6）确定短截线形式（开、短路）
7）从负载到源方向读出短截线长
采用短路短截线
${l_1} = 0.074\lambda$ 、 ${l_2} = 0.426\lambda$
采用开路短截线
${l_1} = 0.324\lambda$ 、 ${l_2} = 0.176\lambda$
第五章阻抗匹配与调谐 Smith圆图

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