【数字逻辑】学习笔记 第三章 逻辑代数基础

文章目录

• 一、逻辑代数的基本概念
• 1、逻辑代数和体系介绍
• 2、真值表
• 二、基本逻辑运算
• 1、“与”运算（逻辑乘）
• 2、“或”运算（逻辑加）
• 3、“非”运算（求补运算）
• 三、复合逻辑运算
• 1、“与非”运算
• 2、“或非”运算
• 3、“与或非”运算
• 4、“异或”和“同或”运算
• 四、逻辑函数
• 1、基本概念
• 2、逻辑函数的表达方法
• 3、由真值表写出逻辑函数的表达式
• 4、逻辑函数的相等
• 五、基本定律、公式和规则
• 1、逻辑代数的基本定律
• 2、逻辑代数的基本规则
• 3、逻辑代数的常用公式
• 六、逻辑函数的标准形式
• 1、逻辑函数的表示方法
• 2、最小项 和 标准与-或式
• (1) 最小项的性质
• (2) 标准或-与式的求法
• 3、最大项 和 标准或-与式
• (1) 最大项的性质
• 4、最小项和最大项的关系
• 5、两种标准表达式的关系
• 七、练习

一、逻辑代数的基本概念

1、逻辑代数和体系介绍

• 逻辑代数 (Logic Algebra) 是 $1847$1847 年由英国数学家乔治 · 布尔首先创立的 ， 是逻辑设计的数学基础，又称布尔代数，开关代数；
• 逻辑代数与普通代数有着不同概念 ， 逻辑代数表示的不是数的大小关系 ， 而是逻辑关系 ， 如 “真” 、“假 ”， “是” 、 “非”等。

逻辑代数的体系由下面的部分组成：

逻辑常量：$0, 1$0,1：

• 仅表示两种不同状态， 如命题的真假， 信号的有无等；
• 可参与逻辑运算， 逻辑运算按位进行， 没有进位。

逻辑变量：

• 符号—$A, B, C, x, y$A,B,C,x,y等；
• 含义—条件存在与否；结果为真还是假；
• 取值—$0, 1$0,1

逻辑状态：完全对立、 截然相反的二种状态，如：好坏、 美丑、 真假、 有无、 高低、 开关等。

2、真值表

真值表

• 真值表是由 输入变量的所有可能取值组合及对应的输出值所构成的表格；
• 真值表直观地反映了变量取值组合和函数值的关系，便于把一个实际的逻辑问题抽象为一个数学问题；
• 在列真值表时， 变量取值按二进制数递增规律排列。

$e.g.$e.g. 设计一个多数表决电路：
三人(用 $A, B, C$A,B,C 表示)对某一提案进行表决，对提案赞成则按下电键 , 用逻辑 $1$1 表示；不赞成则不按电键 , 用逻辑 $0$0 表示；表决结果（用 $F$F 表示）用指示灯显示，多数赞成时指示灯亮，用逻辑 $1$1 表示；反之则不亮，用逻辑 $0$0 表示，根据文字叙述建立真值表。

多数表决电路的真值表：

二、基本逻辑运算

用真值表来分析式子为什么相等。
例： 设 $1$1 表示开关闭合或灯亮；$0$0 表示开关不闭合或灯不亮 。

1、“与”运算（逻辑乘）

电路图：

真值表：

• 表达式 $L ＝AB = A \cap B = A \cdot B$L＝AB=A∩B=A⋅B；
• 数学意义： 仅当决定事件 $L$L 发生的所有条件均具备时，事件 $L$L 才发生；
• 逻辑与门 ：
  

2、“或”运算（逻辑加）

电路图：

真值表：

• 表达式 $L ＝A +B ＝A ∪ B$L＝A+B＝A∪B；
• 数学意义：决定事件 $L$L 发生的各种条件中，只要有一个或以上条件具备时， 事件 $F$F 就发生；
• 逻辑或门 ：
  

3、“非”运算（求补运算）

电路图：

真值表：

• 表达式 $L ＝\overline A$L＝A
• 数学意义：事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定，即条件具备时事情不发生；条件不
  具备时事情才发生；
• 逻辑非门： 实现“非”逻辑运算的电路：
  

三、复合逻辑运算

1、“与非”运算

真值表：

$A$A	$B$B	$L= \overline {A \cdot B}$L=A⋅B
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

逻辑符号：

2、“或非”运算

真值表：

$A$A	$B$B	$L= \overline {A + B}$L=A+B​
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

逻辑符号：

3、“与或非”运算

真值表：

逻辑表达式：$P = \overline {A \cdot B + C \cdot D}$P=A⋅B+C⋅D​

逻辑符号：

4、“异或”和“同或”运算

异或： 当两个变量取值 相同 时，逻辑函数值为 $0$0 ；当两个变量取值 不同 时 ， 逻辑函数值为 $1$1。
真值表：

$A$A	$B$B	$L= {A \oplus B}$L=A⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

逻辑符号：

同或： 当两个变量取值 相同 时，逻辑函数值为 $1$1 ；当两个变量取值 不同 时，逻辑函数值为 $0$0。
真值表：

$A$A	$B$B	$L= {A \odot B}$L=A⊙B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

逻辑符号：

从真值表我们很容易可以知道一下关系：$A \odot B = \overline { A \oplus B}$A⊙B=A⊕B​，即两者的同或和异或互为补集。

四、逻辑函数

1、基本概念

逻辑函数：

• 假设输出 $F$F 由若干逻辑变量 $A 、B 、C …$A、B、C… 经过有限的逻辑运算所决定 ，即 $F = f(A,B,C,…)$F=f(A,B,C,…) ， 若输入变量确定以后， $F$F 值也被唯一确定，则称 $F$F 是 $A 、B 、C…$A、B、C… 的逻辑函数。
• 逻辑函数的取值：逻辑 $0$0 和逻辑 $1$1 ；它们不代表数值大小，仅表示相互矛盾、 相互对立的两种逻辑状态 。

2、逻辑函数的表达方法

真值表 —— 将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格；
逻辑表达式 —— 由 逻辑变量、逻辑运算符和必要的括号所构成的表达式。
卡诺图；
逻辑电路图。

3、由真值表写出逻辑函数的表达式

$e.g.$e.g. 三个人表决一件事情，结果按 “ 少数服从多数 ” 的原则决定，试建立该逻辑函数。

解：

• 第一步：设置自变量和因变量 。
• 第二步： 状态赋值 。对于自变量 $A$A 、$B$B 、$C$C 设：同意为逻辑 $1$1 ，不同意为逻辑 $0$0 。对于因变量 $L$L 设：事情通过为逻辑 $1$1 ，没通过为逻辑 $0$0 。
• 第三步： 根据题义及上述规定列出函数的真值表
  
• 第四步——方法一：由真值表写出 “与-或表达式”。把每一组使输出变量 $L ＝ 1$L＝1 的输入变量取值组合以逻辑与（相乘）的形式表示，如果变量取值为 $1$1，则用原变量表示；否则用反变量表示；再将各组逻辑与进行逻辑或（相加）操作。
  逻辑函数的表达式：$L = \overline A B C + A \overline B C + A B \overline C + ABC$L=ABC+ABC+ABC+ABC。
  - 第四步——方法二 ：由真值表写出“或-与表达式”。把每一组使输出变量 $L＝0$L＝0 的输入变量取值组合以逻辑或（相加）的形式表示，如果变量取值为 $0$0 ，则用原变量表示；否则用反变量表示；再将各组逻辑或进行逻辑与（相乘）操作。
  逻辑函数的表达式：$L = (A+B+C)(A+B+\overline C)(A+\overline B + C)(\overline A +B +C)$L=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)。
  

4、逻辑函数的相等

两个具有 相同变量 的逻辑函数：
$Ｆ=f( Ａ_1, Ａ_2,… Ａ_n) \\ Ｇ=g( Ａ_1, Ａ_2,… Ａ_n)$Ｆ=f(Ａ1​,Ａ2​,…Ａn​)Ｇ=g(Ａ1​,Ａ2​,…Ａn​)
如果对应于$Ａ_1, Ａ_2,… Ａ_n$Ａ1​,Ａ2​,…Ａn​ 的任一组状态组合，$Ｆ$Ｆ和 $Ｇ$Ｇ 的值都相同，则称 $Ｆ$Ｆ 和 $Ｇ$Ｇ 是 等值 的，或 相等 的。即两逻辑函数相等 $\stackrel{等价}\Longleftrightarrow$⟺等价​ 两函数的真值表相同。

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五、基本定律、公式和规则

1、逻辑代数的基本定律

• 0-1 律：（是对偶式）
  $0 \cdot A ＝\ 0 \quad 0 ＋A ＝A \\ 1 \cdot A ＝A \quad 1 ＋A ＝1$0⋅A＝ 00＋A＝A1⋅A＝A1＋A＝1

• 重叠律：（是对偶式）
  $A \cdot A ＝A \quad A ＋A ＝A$A⋅A＝AA＋A＝A

• 互补律：（是对偶式）
  $A \cdot \overline A ＝0 \quad A ＋\overline A ＝1$A⋅A＝0A＋A＝1

• 反演律：（是对偶式）
  $\overline {A+ B} = \overline { A} \cdot \overline{B}\\ \overline {A \cdot B} = \overline {A} + \overline{ B}$A+B​=A⋅BA⋅B=A+B
  基本定律的证明方法：利用真值表；
  

• 交换律：（是对偶式）
  $A \cdot B = B \cdot A\\ A + B = B + A\\ A \oplus B = B \oplus A \\ A \odot B = B \odot A$A⋅B=B⋅AA+B=B+AA⊕B=B⊕AA⊙B=B⊙A

• 结合律：（是对偶式）
  $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) \\ (A + B) + C = A + (B+ C)\\ (A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C) \\ (A \odot B) \odot C = A \odot (B \odot C)$(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)(A+B)+C=A+(B+C)(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)(A⊙B)⊙C=A⊙(B⊙C)

• 分配律：（是对偶式，可以简化记忆）
  $\begin{aligned} A \cdot (B+ C) = A \cdot B + A \cdot C\\ A + B \cdot C = (A+ B) \cdot (A +C)\\ A \cdot (B \oplus C) = (A \cdot B) \oplus (A \cdot C) \\ A + (B \odot C) = (A +B) \odot (A + C) \end{aligned}$A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅CA+B⋅C=(A+B)⋅(A+C)A⋅(B⊕C)=(A⋅B)⊕(A⋅C)A+(B⊙C)=(A+B)⊙(A+C)​

2、逻辑代数的基本规则

• 代入规则： 可用于推广基本定律和公式；
• 对偶规则：便于记忆基本定律和公式；
• 反演规则：用于求逻辑函数的反函数（求逻辑函数的补集）。

(1) 代入规则：在任何一个逻辑等式中， 如果将等式两边的某一变量 $X$X，均代之以一个逻辑表达式， 则此等式仍然成立；采用代入规则 , 可将反演律推广到多变量情况：
$\overline{A +C} = \overline {A} \cdot \overline {C} \\ \overline{(A + B) +C} = \overline {A+B} \cdot \overline {C} = \overline A \cdot \overline B \cdot \overline C$A+C​=A⋅C(A+B)+C​=A+B​⋅C=A⋅B⋅C
实际上，因为这是递归定义的，项(变量)->表达式…因此可以代入。

(2) 对偶规则：将逻辑函数 F 的 中的 “$\cdot$⋅” $\leftrightarrow$↔ “$+$+”，“$0$0” $\leftrightarrow$↔ “$1$1”，得 $F^{*}$F∗，称为 $F$F 的对偶式。利用对偶规则可使需要证明和记忆的公式减半。

推论：若 $F ＝G$F＝G 则 ，则 $F^* ＝G^*$F∗＝G∗。
逻辑函数：$F = \overline {A \cdot B + D} \cdot (C + 0)$F=A⋅B+D​⋅(C+0)
对偶函数：$F^* = \overline {(A + B) \cdot D} + (C \cdot 1)$F∗=(A+B)⋅D​+(C⋅1)

(3) 反演规则：将逻辑函数 $F$F 中的 “$\cdot$⋅” $\leftrightarrow$↔ “＋” ，“$0$0” $\leftrightarrow$↔ “$1$1”，原变量 $\leftrightarrow$↔ 反变量，得 $\overline F$F，即为 $F$F 的反函数。这条规则方便计算一个公式的补。
逻辑函数：$F = \overline {A \cdot B + D} \cdot (C + 0)$F=A⋅B+D​⋅(C+0)
反 函数：$\overline F = \overline {(\overline A + \overline B) \cdot \overline D} + (\overline C \cdot 1)$F=(A+B)⋅D​+(C⋅1)

3、逻辑代数的常用公式

(1) 吸收律：$A + AB = A$A+AB=A
证明：（依据分配律）$A + AB = A(1+B)=A \cdot 1 = A$A+AB=A(1+B)=A⋅1=A

(2) $AB + A \overline B = A$AB+AB=A
证明： （依据分配律）$AB + A\overline B = A(B + \overline B) = A \cdot 1 = A$AB+AB=A(B+B)=A⋅1=A

(3) $A + \overline A B = A +B$A+AB=A+B
证明： （依据分配律）$A + \overline A B = (A+ \overline A)(A + B) = A + B$A+AB=(A+A)(A+B)=A+B
(4) $AB + \overline A C + BC = AB + \overline AC$AB+AC+BC=AB+AC
证明：$\begin{aligned} AB + \overline AC +BC &= AB + \overline AC + (A + \overline A)BC \quad {互补律} \\ &= (AB + ABC) + ( \overline AC + \overline ABC) \quad {交换和律结合律}\\ &= AB(1 + C) + \overline AC(1+B) \quad{分配律} \\ &= AB + \overline AC \quad{0-1律} \end{aligned}$AB+AC+BC​=AB+AC+(A+A)BC互补律=(AB+ABC)+(AC+ABC)交换和律结合律=AB(1+C)+AC(1+B)分配律=AB+AC0−1律​

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六、逻辑函数的标准形式

1、逻辑函数的表示方法

一个逻辑函数可以多种等价的逻辑表达式 ，它们之间也可以相互转换。
$\begin{aligned} F &= AB + \overline AC \quad \Rightarrow与或式 \\ &= {\overline {\overline { AB + \overline AC }}} = \overline {\overline {AB} \cdot \overline {\overline AC}}\quad \Rightarrow与非-与非式 \\ &= \overline{(\overline A + \overline B) \cdot (A + \overline C)} = \overline {A\overline B + \overline A\ \overline C} \quad \Rightarrow与或非式\\ &= \overline {A\overline B} \cdot {\overline {\overline A \ \overline C}} = (\overline A + B)(A + C) \quad \Rightarrow或与式 \\ &= \overline {\overline {(\overline A + B)(A+C)}} = \overline {\overline{\overline A + B} + \overline {A+C}} \quad \Rightarrow或非－或非式 \end{aligned}$F​=AB+AC⇒与或式=AB+AC​​=AB⋅AC⇒与非−与非式=(A+B)⋅(A+C)​=AB+A C​⇒与或非式=AB⋅A C=(A+B)(A+C)⇒或与式=(A+B)(A+C)​​=A+B​+A+C​​⇒或非－或非式​
逻辑函数的表达式

• 逻辑函数的表达式可以有多种形式；
• 标准表达式具有唯一性；
• 逻辑函数的 最小项式 表达式 ( 标准 积之和 式、标准“与-或”式)
• 逻辑函数的 最大项式 表达式 ( 标准 和之积 式、标准“或-与”式)

2、最小项 和 标准与-或式

$\blacksquare$■ 如果一个具有 $n$n 个变量的函数的某个“积”项包含全部 $n$n 个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现, 且仅出现一次，则这个“积”项被称为 最小项 ，也叫 标准积 。
$e.g.$e.g. $\overline AB \overline C \rightarrow$ABC→ 就是一个最小项。

$\blacksquare$■ 假如一个函数完全由最小项的和组成，那么该函数表达式称为 最小项表达式 ，也称为 标准与-或式 。
$e.g.$e.g. $F(A, B, C) = \overline AB \overline C + \overline ABC + AB \overline C + ABC$F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC

$e.g.$e.g. 三变量函数的最小项：

例 已知函数 $F$F 的真值表如下所示，

则它的 最小项表达式 为：(根据真值表写函数表达式方法1)
$\begin{aligned} F &= \overline ABC + A\overline BC + AB\overline C +ABC \\ &= m_3 + m_5 + m_6 +m_7 \\ &= \sum_m(3, 5, 6, 7) \end{aligned}$F​=ABC+ABC+ABC+ABC=m3​+m5​+m6​+m7​=m∑​(3,5,6,7)​

(1) 最小项的性质

1）对最小项 $m_i,\ i \in [0, 2^n)$mi​, i∈[0,2n)，变量的 $2^n$2n 种取值中只有一组取值使 $m_i = 1$mi​=1：
$e.g.$e.g. 三个变量的所有最小项的真值表

2）当 $i \ne j$i​=j 时，$m_i \cdot m_j = 0$mi​⋅mj​=0：
$e.g.$e.g. $m_3 *m_6 = AB\overline C \cdot \overline ABC = 0$m3​∗m6​=ABC⋅ABC=0

3）全部最小项之和等于 $1$1 ，即 $\sum m_i ＝ 1$∑mi​＝1。

(2) 标准或-与式的求法

一般过程： 去除非号 → 去除括号 → 补因子

3、最大项 和 标准或-与式

$\blacksquare$■ 如果一个具有 $n$n 个 变量的函数的某个 “和” 项含
全部 $n$n 个 变量，每个变量都以 原变量 或 反变量 形式出现，且 仅 出现 一次 ， 则这个 “和” 项被称为 最大项 ，也叫 标准和 。
$\blacksquare$■ 假如 一个函数完全由最大项的 积 组成, , 那么该函数表达式称为 最大项表达式 ， 也称为 标准或-与式 。

例：三变量函数的最大项：

例：已知函数 F 的真值表如下所示，

则它的 最大项表达式 为：根据真值表写函数表达式方法(2)
$\begin{aligned} F &= (A+B+C)(A+B+\overline C)(A + \overline B +C)(\overline A +B+C) \\ &= M_0 \cdot M_1 \cdot M_2 \cdot M_4\\ &= \prod{}_M(0,1,2,4) \end{aligned}$F​=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M0​⋅M1​⋅M2​⋅M4​=∏M​(0,1,2,4)​

(1) 最大项的性质

1）只有一组取值使 $M_i ＝0$Mi​＝0：
$e.g.$e.g. 三个变量的所有最大项的真值表
2）当 $i \ne j$i​=j 时，$M_i + M_j = 1$Mi​+Mj​=1：
$e.g. \ M_1 + M_4 = (A +B + \overline C) + (\overline A + B + C) = 1$e.g. M1​+M4​=(A+B+C)+(A+B+C)=1

3）全部最大项之积等于 $0$0 ，$\prod M_i = 0$∏Mi​=0。

4、最小项和最大项的关系

（1）相同编号的最小项和最大项存在 互补 关系：（一眼就可以看出来，互为反函数）：
（2） 若干个最小项之和表示的表达式 $F$F，其反函数 $\overline F$F 可用与这些最小项相对应的最大项之积表示 。

$\begin{aligned} F &= m_1 +m_3 + m_5 + m_7 \\ \overline F &= \overline{m_1 +m_3 +m_5 + m_7} \\ &= \overline m_1 \cdot \overline m_3 \cdot \overline m_5 \cdot \overline m_7 \\ &= M_1 \cdot M_3 \cdot M_5 \cdot M_7 \end{aligned}$FF​=m1​+m3​+m5​+m7​=m1​+m3​+m5​+m7​​=m1​⋅m3​⋅m5​⋅m7​=M1​⋅M3​⋅M5​⋅M7​​

5、两种标准表达式的关系

例：已知函数 $F$F 的真值表如下所示：

同一逻辑函数既可以表示为标准与- 或式，也可以表示为标准或-与式。一个逻辑函数的 最小项集合 与它的 最大项集合 ， 互为补集。
$F(A, B, C) = \sum{}_m(3, 5, 6, 7) = \prod{}_M(0, 1, 2, 4)$F(A,B,C)=∑m​(3,5,6,7)=∏M​(0,1,2,4)

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七、练习

1.一个三变量非一致判断电路，当输入的三个变量 $A、B、C$A、B、C 不完全相同时，输出 $F=1$F=1，否则 $F=0$F=0。请列出该逻辑问题的真值表，并写出函数表达式。
答：真值表如下：

A	B	C	F
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

函数表达式：
$F(A, B, C) = (\overline A\ \overline B C) + (\overline AB\overline C) + (\overline ABC) + (A\overline B\ \overline C) + (A\overline BC)+(AB\overline C)$F(A,B,C)=(A BC)+(ABC)+(ABC)+(AB C)+(ABC)+(ABC)

2.写出下列函数的反函数和对偶式。
$F = A \cdot \overline{B + \overline D} +(AC+BD)E$F=A⋅B+D​+(AC+BD)E
答：
反函数：$\overline F = \overline A + \overline {\overline B \cdot D} \cdot (\overline A + \overline C) \cdot (\overline B + \overline D) + \overline E$F=A+B⋅D⋅(A+C)⋅(B+D)+E
对偶式：$F^* = A + \overline{B \cdot \overline D} \cdot (A + C) \cdot (B + D) + E$F∗=A+B⋅D⋅(A+C)⋅(B+D)+E

3.写出逻辑函数的标准与-或式。
（1） $F = BD + ACD + AB\overline D + A\overline C\ \overline D$F=BD+ACD+ABD+AC D
答：标准与或式：
$\begin{aligned} F &= BD + ACD + AB\overline D + A\overline C\ \overline D \\ &= (\overline AB\overline CD + \overline ABCD + AB\overline CD + ABCD) + (ABCD + A\overline BCD) + (AB\overline C\ \overline D+ABC\overline D) + (A\overline B\ \overline C\ \overline D + AB\overline C\ \overline D)\\ &= m_5 + m_7 + m_{13} + m_{15} + m_{11} + m_{12} + m_{14} + m_8\\ &= \sum m(5,7,8,11,12,13,14,15) \end{aligned}$F​=BD+ACD+ABD+AC D=(ABCD+ABCD+ABCD+ABCD)+(ABCD+ABCD)+(ABC D+ABCD)+(AB C D+ABC D)=m5​+m7​+m13​+m15​+m11​+m12​+m14​+m8​=∑m(5,7,8,11,12,13,14,15)​

（2） $F(A, B,C,D) = \prod M(0,2,3,4,7,8,10)$F(A,B,C,D)=∏M(0,2,3,4,7,8,10)
答：由同一逻辑函数的标准与或式和标准或与式的关系可得，标准与-或式：
$F(A, B,C,D) = \sum m(1,5,6,9,11,12,13,14,15)$F(A,B,C,D)=∑m(1,5,6,9,11,12,13,14,15)
4. 用真值表证明：$\overline A\ \overline BC+ \overline AB\overline C + A\overline B\ \overline C + ABC = A \oplus B \oplus C$A BC+ABC+AB C+ABC=A⊕B⊕C
答：可得真值表如下，对于所有的变量取值组合均有相同的输出，因此两者相等。

A	B	C	$\overline A\ \overline BC+ \overline AB\overline C + A\overline B\ \overline C + ABC$A BC+ABC+AB C+ABC	$A \oplus B \oplus C$A⊕B⊕C
0	0	0	0	0
0	0	1	1	1
0	1	0	1	1
0	1	1	0	0
1	0	0	1	1
1	0	1	0	0
1	1	0	0	0
1	1	1	1	1