在应用机器学习算法时，我们常采用梯度下降法来对才用的算法进行训练。梯度下降法有三种不同的形式：批量梯度下降（Batch Gradient Descent）、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）以及小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent）。接下来，我们将对这三种不同的梯度下降法进行理解。
梯度下降算法需要对损失函数求梯度，也就是求导。一般线性函数对应的损失函数为：
一、批量梯度下降（Batch Gradient Descent，BGD）
批量梯度下降法是最原始的形式，它是指在每一次迭代时使用所有样本来进行梯度的更新。从数学上理解如下：
（1）对目标函数求偏导：
（2）每次迭代对参数进行更新：
我们要不断重复这一步直到算法收敛，也就是参数不断更新，直到梯度为0。但是，我们的每次迭代更新，都要对所有的m个样本数据进行求和。
那么我们如何检测参数是否已经收敛了呢？一种是检验两次迭代，如果两次迭代中，是否改变了很多，如果在两次迭代中没怎么改变，我们或许就可以说算法有可能收敛了。另一种，更常用的方法是，检验的值，如果你试图最小化的量不再发生很大的改变时，你也许就可以认为它收敛了。
优点：
（1）一次迭代是对所有样本进行计算，此时利用矩阵进行操作，实现了并行。
（2）由全数据集确定的方向能够更好地代表样本总体，从而更准确地朝向极值所在的方向。当目标函数为凸函数时，BGD一定能够得到全局最优。
缺点：
（1）当样本数目 m很大时，每迭代一步都需要对所有样本计算，训练过程会很慢。
从迭代的次数上来看，BGD迭代的次数相对较少。其迭代的收敛曲线示意图可以表示如下
那么，当我们遇到这样非常大的数据集的时候怎么办呢？我们应该使用另一种梯度下降算法——随机梯度算法。
二、随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）
随机梯度下降法不同于批量梯度下降，它的具体思路是：算法中对Theta的每次更新不需要再全部遍历一次整个样本，只需要查看一个训练样本进行更新，之后再用下一个样本进行下一次更新，像批梯度下降一样不断迭代更新。
随机梯度下降算法调整参数的速度会快很多，在批梯度下降法还没有完成一次迭代的时候，随机梯度下降法便已经走了好远了。但是随机梯度下降存在一定的问题，噪音比批梯度下降要多，使得它并不是每次迭代都向着整体最优化方向迈出的，因此算法虽然会逐渐走向全局最小值的位置，但是可能无法站到那个最小值得那一点，而是在最小值的附近徘徊。
优点：
（1）由于不是在全部训练数据上的损失函数，而是在每轮迭代中，随机优化某一条训练数据上的损失函数，这样每一轮参数的更新速度大大加快。
缺点：
（1）准确度下降。由于即使在目标函数为强凸函数的情况下，SGD仍旧无法做到线性收敛。
（2）可能会收敛到局部最优，由于单个样本并不能代表全体样本的趋势。
（3）不易于并行实现。
解释一下为什么SGD收敛速度比BGD要快：
答：这里我们假设有30W个样本，对于BGD而言，每次迭代需要计算30W个样本才能对参数进行一次更新，需要求得最小值可能需要多次迭代（假设这里是10）；而对于SGD，每次更新参数只需要一个样本，因此若使用这30W个样本进行参数更新，则参数会被更新（迭代）30W次，而这期间，SGD就能保证能够收敛到一个合适的最小值上了。也就是说，在收敛时，BGD计算了 10×30W次，而SGD只计算了 1×30W次。
SGD算法的收敛图：
从迭代的次数上来看，随机梯度下降算法迭代的次数较多，在解空间的搜索过程看起来很盲目。
三、小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent, MBGD）
上述的两种梯度下降法可以看出，其各自均有优缺点，那么能不能在两种方法的性能之间取得一个折衷呢？即，算法的训练过程比较快，而且也要保证最终参数训练的准确率，而这正是小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent，简称MBGD）的初衷。
MBGD在每次更新参数时使用b个样本（b一般为10)，伪代码形式为：
b=10, m=1000.
优点：
（1）通过矩阵运算，每次在一个batch上优化神经网络参数并不会比单个数据慢太多。
（2）每次使用一个batch可以大大减小收敛所需要的迭代次数，同时可以使收敛到的结果更加接近梯度下降的效果。(比如上例中的30W，设置batch_size=100时，需要迭代3000次，远小于SGD的30W次)
（3）可实现并行化。
缺点：
（1）batch_size的不当选择可能会带来一些问题。
batcha_size的选择带来的影响：
（1）在合理地范围内，增大batch_size的好处：
a. 内存利用率提高了，大矩阵乘法的并行化效率提高。
b. 跑完一次 epoch（全数据集）所需的迭代次数减少，对于相同数据量的处理速度进一步加快。
c. 在一定范围内，一般来说 Batch_Size 越大，其确定的下降方向越准，引起训练震荡越小。
（2）盲目增大batch_size的坏处：
a. 内存利用率提高了，但是内存容量可能撑不住了。
b. 跑完一次 epoch（全数据集）所需的迭代次数减少，要想达到相同的精度，其所花费的时间大大增加了，从而对参数的修正也就显得更加缓慢。
c. Batch_Size 增大到一定程度，其确定的下降方向已经基本不再变化。
下图显示了三种梯度下降算法的收敛过程：
四、总结
Batch gradient descent: Use all examples in each iteration；
Stochastic gradient descent: Use 1 example in each iteration；
Mini-batch gradient descent: Use b examples in each iteration.
参考：
批量梯度下降(BGD)、随机梯度下降(SGD)以及小批量梯度下降(MBGD)的理解