算法导论 — 6.2 维护堆的性质

笔记

本节主要考虑如何保持堆（最大堆）的性质。给定最大堆$A$A中的一个元素$i$i，它有可能不符合最大堆的性质，即$A[i]$A[i]有可能小于它的孩子，但是它的两棵子树已经满足了最大堆的性质。我们通过一个MAX-HEAPIFY过程来使得以$A[i]$A[i]为根的子树满足最大堆性质，MAX-HEAPIFY是通过让$A[i]$A[i]在最大堆中“逐层下降”来达成这一目标的。
　　
　　简单描述一下MAX-HEAPIFY的执行过程。先从$A[i]、A[{\rm LEFT}(i)]、A[{\rm RIGHT}(i)]$A[i]、A[LEFT(i)]、A[RIGHT(i)]中找出最大值，并将最大值的下标保存在$largest$largest中。如果$A[i]$A[i]是最大的，那么以$i$i为根的子树已经满足最大堆性质，无需再做调整。如果$A[i]$A[i]不是最大的，那么最大值必然是$A$A的某个孩子，交换$A[i]$A[i]和$A[largest]$A[largest]，将$A[largest]$A[largest]放置到子树的根的位置，使得$i、{\rm LEFT}(i)、{\rm RIGHT}(i)$i、LEFT(i)、RIGHT(i)这三个结点满足最大堆性质。然而，由于$A[i]$A[i]被放置到了$largest$largest位置，那么现在的$A[largest]$A[largest]也有可能小于它的孩子，因此还需要对以$A[largest]$A[largest]为根的子树递归调用MAX-HEAPIFY。可以看到，如果$A[i]$A[i]不满足最大堆性质，那么$A[i]$A[i]就会逐层下降，直到满足最大堆性质为止，或者直到降到最底层为止。
　　下图给出了一个例子。初始时$A[i] = 4$A[i]=4，然后逐层下降，一直降到了最底层。
　　
　　MAX-HEAPIFY的核心是让不满足最大堆性质元素逐层下降，而逐层下降的次数不会超过整棵树的高度，因此MAX-HEAPIFY的时间复杂度为$O(h)$O(h)，也就是$O({\rm lg}n)$O(lgn)。

练习

6.2-1 参照图6-2的方法，说明MAX-HEAPIFY(A, 3)在数组A = <27, 17, 3, 16, 13, 10, 1, 5, 7, 12, 4, 8, 9, 0>上的操作过程。
　　解
　　

6.2-2 参考过程MAX-HEAPIFY，写出能够维护最小堆的MIN-HEAPIFY(A, i)伪代码，并比较MIN-HEAPIFY与MAX-HEAPIFY的运行时间。
　　解
　　
　　显然，MIN-HEAPIFY与MAX-HEAPIFY的运行时间一样，也为$O({\rm lg}n)$O(lgn)。

6.2-3 当元素$A[i]$A[i]比其孩子的值都大时，调用MAX-HEAPIFY(A, i)会有什么结果？
　　解
　　元素$A[i]$A[i]比其孩子的值都大时，$A[i]$A[i]满足最大堆的性质，调用MAX-HEAPIFY(A, i)不会有任何改变。

6.2-4 当$i &gt; A.heap\_size/2$i>A.heap_size/2时，调用MAX-HEAPIFY(A, i)会有什么结果？
　　解
　　根据练习6.1-7的结论，当$i &gt; A.heap\_size/2$i>A.heap_size/2时，$A[i]$A[i]一定为叶结点，故调用MAX-HEAPIFY(A, i)不会有任何改变。

6.2-5 MAX-HEAPIFY的代码效率较高，但第10行中的递归调用可能例外，它可能使某些编译器产生低效的代码。请用循环控制结构取代递归，重写MAX-HEAPIFY代码。
　　解
　　

6.2-6 证明：对一个大小为$n$n的堆，MAX-HEAPIFY的最坏情况运行时间为$Ω({\rm lg}n)$Ω(lgn)。（提示：对于$n$n个结点的堆，可以通过对每个结点设定恰当的值，使得从根结点到叶结点路径上的每个结点都会递归调用MAX-HEAPIFY。）
　　解
　　利用练习6.1-2的结论，含有$n$n个元素的堆高度为$⌊{\rm lg}n⌋$⌊lgn⌋。MAX-HEAPIFY的最坏情况为，从树的根结点开始，逐层下降，直到最底层。因此MAX-HEAPIFY的最坏情况运行时间为$Ω({\rm lg}n)$Ω(lgn)。