LaSalle's invariance principle 拉萨尔不变性原理

个人博客Glooow，欢迎各位老师来踩踩

文章目录

• 1. 系统模型
• 2. 基本定义
• 3. 拉萨尔不变性原理

1. 系统模型

考虑一个控制系统
$\dot{x}(t)=f(x(t))$x˙(t)=f(x(t))
其中 $f(0)=0$f(0)=0。

2. 基本定义

正极限点(positive limit point)：p 被称为 $x(t)$x(t) 的正极限点，如果存在一个时间序列 $\{t_n\}${tn​}，有 $n\to\infty$n→∞ 时 $t_n\to\infty$tn​→∞，且使得 $x(t_n)\to\infty$x(tn​)→∞ 随着 $n\to\infty$n→∞。

正极限集(positive limit set)：$x(t)$x(t) 的所有正极限点的集合即为正极限集。

Remarks：这里举个例子，序列 $x(n)=1,-1,1,-1,...$x(n)=1,−1,1,−1,...，那么取奇数项时极限为 1，偶数项时极限为 -1.但是对于完整的序列 $x(n)$x(n) 则极限不存在，而 $x(n)$x(n) 的正极限集则为 $\{1,-1\}${1,−1}。

为什么这里会引入集合呢？因为控制系统中最终的稳定状态可能不是一个孤立的点，而是在很多个状态之间循环转换，比如一个单位圆。

不变集(invariant set)：集合 $M$M 是关于系统 (1) 的不变集，如果有 $x(0)\in M \Rightarrow x(t)\in M, \forall t\in \mathbb{R}$x(0)∈M⇒x(t)∈M,∀t∈R。如果有 $x(0)\in M \Rightarrow x(t)\in M, \forall t\ge0$x(0)∈M⇒x(t)∈M,∀t≥0 则称为正不变集(positive invariant set)。

3. 拉萨尔不变性原理

LaSalle’ Theorem：令 $\Omega\in D$Ω∈D 是一个紧致集，且是关于系统 $\dot{x}(t)=f(x(t))$x˙(t)=f(x(t)) 的不变集。令 $V:D\to\mathbb{R}$V:D→R 是一个连续函数，且满足 $\dot{V}(x)\le0\ \ in\ \ \Omega$V˙(x)≤0  in  Ω。令 $M$M 为 $\Omega$Ω 中所有满足 $\dot{V}(x)=0$V˙(x)=0 的点的集合，令 $E$E 为 $M$M 中的最大不变集，那么从 $\Omega$Ω 中出发的所有解都将趋于 $E$E 随着 $t\to\infty$t→∞。

Remarks：这里的 $M$M 和 $E$E 有什么不同吗？二者不等价吗？不一定等价！因为 $\Omega$Ω 本身是一个不变集，而 $M$M 又是他的一个子集，如下图所示，那么任意一个起始于 $M$M 的轨迹都有可能跑出 $M$M 而进入 $\Omega\backslash M$Ω\M，因此 $M$M 并不是一个不变集。