一递归的基本思想
所谓递归，简单点来说，就是一个函数直接或间接调用自身的一种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解。
我们可以把” 递归 “比喻成 “查字典 “，当你查一个词，发现这个词的解释中某个词仍然不懂，于是你开始查这第二个词。
可惜，第二个词里仍然有不懂的词，于是查第三个词，这样查下去，直到有一个词的解释是你完全能看懂的，那么递归走到了尽头，然后你开始后退，逐个明白之前查过的每一个词，最终，你明白了最开始那个词的意思。（摘自知乎的一个回答）
我们以阶乘作为：
int Factorial(int n){
if (n == 0) return 1;
return
n * Factorial(n - 1);
}
一个最简单的例子：求斐波拉契数列Fibonacci 。先看一下这个问题：
Fibonacci (n) = 1; n = 0
Fibonacci (n) = 1; n = 1
Fibonacci (n) = Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)
以前学c语言的时候写过这个算法使用递归十分的简单。先使用递归版本来实现这个算法：
public int fib(int n)
{
if(n<=0)
return 0;
if(n==1)
return 1;
return fib( n-1)+fib(n-2);
}
输入6
输出：8
先来分析一下递归算法的执行流程，假如输入6，那么执行的递归树如下：
上面的递归树中的每一个子节点都会执行一次，很多重复的节点被执行，fib(2)被重复执行了5次。由于调用每一个函数的时候都要保留上下文，所以空间上开销也不小。这么多的子节点被重复执行，如果在执行的时候把执行过的子节点保存起来，后面要用到的时候直接查表调用的话可以节约大量的时间。下面就看看动态规划的两种方法怎样来解决斐波拉契数列Fibonacci 数列问题。
二、动态规划基本思想
一般来说，只要问题可以划分成规模更小的子问题，并且原问题的最优解中包含了子问题的最优解，则可以考虑用动态规划解决。动态规划的实质是分治思想和解决冗余，因此，动态规划是一种将问题实例分解为更小的、相似的子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，以解决最优化问题的算法策略。由此可知，动态规划法与分治法和贪心法类似，它们都是将问题实例归纳为更小的、相似的子问题，并通过求解子问题产生一个全局最优解。因此，动态规划法所针对的问题有一个显著的特征，即它所对应的子问题树中的子问题呈现大量的重复。动态规划法的关键就在于，对于重复出现的子问题，只在第一次遇到时加以求解，并把答案保存起来，让以后再遇到时直接引用，不必重新求解。
①自顶向下的备忘录法
public static int Fibonacci(int n)
{
if(n<=0)
return n;
int []Memo=new int[n+1];
for(int i=0;i<=n;i++)
Memo[i]=-1;
return fib(n, Memo);
}
public static int fib(int n,int []Memo)
{
if(Memo[n]!=-1)
return Memo[n];
//如果已经求出了fib（n）的值直接返回，否则将求出的值保存在Memo备忘录中。
if(n<=2)
Memo[n]=1;
else Memo[n]=fib( n-1,Memo)+fib(n-2,Memo);
return Memo[n];
}
②自底向上的动态规划
备忘录法还是利用了递归，上面算法不管怎样，计算fib（6）的时候最后还是要计算出fib（1），fib（2），fib（3）……,那么何不先计算出fib（1），fib（2），fib（3）……,呢？这也就是动态规划的核心，先计算子问题，再由子问题计算父问题。
public static int fib(int n)
{
if(n<=0)
return n;
int []Memo=new int[n+1];
Memo[0]=0;
Memo[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
Memo[i]=Memo[i-1]+Memo[i-2];
}
return Memo[n];
}
自底向上方法也是利用数组保存了先计算的值，为后面的调用服务。观察参与循环的只有 i，i-1 , i-2三项，因此该方法的空间可以进一步的压缩如下。
public static int fib(int n)
{
if(n<=1)
return n;
int Memo_i_2=0;
int Memo_i_1=1;
int Memo_i=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
Memo_i=Memo_i_2+Memo_i_1;
Memo_i_2=Memo_i_1;
Memo_i_1=Memo_i;
}
return Memo_i;
}
关于动态规划的更多问题，请阅读 https://blog.csdn.net/u013309870/article/details/75193592
https://blog.csdn.net/a20180825/article/details/76718417