1、动态规划
基本思想：
动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。
动态规划的三大步骤：
动态规划，无非就是利用历史记录，来避免我们的重复计算。而这些历史记录，我们得需要一些变量来保存，一般是用一维数组或者二维数组来保存。下面我们先来讲下做动态规划题很重要的三个步骤：
- 第一步骤：定义数组元素的含义，上面说了，我们会用一个数组，来保存历史数组，假设用一维数组 dp[] 吧。这个时候有一个非常非常重要的点，就是规定你这个数组元素的含义，例如你的 dp[i] 是代表什么意思？
- 第二步骤：找出数组元素之间的关系式，我觉得动态规划，还是有一点类似于我们高中学习时的归纳法的，当我们要计算 dp[n] 时，是可以利用 dp[n-1]，dp[n-2]…dp[1]，来推出 dp[n] 的，也就是可以利用历史数据来推出新的元素值，所以我们要找出数组元素之间的关系式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，这个就是他们的关系式了。（学过动态规划的可能都经常听到最优子结构，把大的问题拆分成小的问题）
- 第三步骤：找出初始值。学过数学归纳法的都知道，虽然我们知道了数组元素之间的关系式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，我们可以通过 dp[n-1] 和 dp[n-2] 来计算 dp[n]，但是，我们得知道初始值啊，例如一直推下去的话，会由 dp[3] = dp[2] + dp[1]。而 dp[2] 和 dp[1] 是不能再分解的了，所以我们必须要能够直接获得 dp[2] 和 dp[1] 的值，而这，就是所谓的初始值。
练习：
题目1：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法
1、第一步先找这个函数与下一个函数之间的关系：
假如有n个台阶，跳上一个n级的台阶的跳法总数为f(n)。我们在跳的过程中，每一次有两种跳法，即跳一个或两个台阶。
第一种跳法：第一次我跳了一个台阶，那么还剩下n-1个台阶还没跳，剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。
第二种跳法：第一次跳了两个台阶，那么还剩下n-2个台阶还没，剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。
由此不难得出递归公式：f(n) = (n-1) + f(n-2);
2、第二步找出递归的结束条件
当n <= 0时，跳法为0，即此时f(n) = 0；
当只剩下一个台阶n = 1时，那么只有一种跳法，即f(1) = 1；
当n = 2时，此时跳法为2种，即f(2) = 2；
3、代码实现
在递归的过程中，有很多相同的f(n)重复算，时间复杂度是指数级别的。如下图：对于那些重复算过的，其实我们可以不用在重复递归来算它的，也就是所我们可以把f(n)算的结果一边给保存起来，这种就是动态规划的思想。也就是说，我们可以把每次计算的结果保存中一个map容器里，把n作为key,f(n)作为value.然后每次要递归的时候，先查看一下这个f(n)我们是否已经算过了，如果已经算过了，我们直接从map容器里取出来返回去就可以了。如下：
实际上，对于f(n) = f(n-1) + f(n - 2)这种有递推关系的题，其实和斐波那契数列很相似，还可以这样做：
问题2： 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。 求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
分析，其实这道题和上面那道题一样的，只是本来每次跳有两种选择，现在有n中选择，即f(n) = f(n-1) + f(n - 2) + f(n-3)+…+f(1);