2020.4.16第一次使用

Markdown及LaTeX模板创作尝试

• Markdown部分
• 余元公式
• 倍元公式
• LaTeX模板部分

总体来说，markword和LaTeX的在数学上语言很像，只需要稍微修修改改，即可完成，但是网页还是网页，PDF文件只能转化为png上传，文件的清晰度着到了降为打击，初次接触这类排版软件，需要学习进步的地方还有很多，下面大家来看看效果。

Markdown部分

余元公式

$\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)=\frac{\pi}{\sin\alpha\pi}(0<\alpha<1)$Γ(α)Γ(1−α)=sinαππ​(0<α<1)

证明： 事实上
$B(p,q)=\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx(p,q>0)$B(p,q)=∫01​xp−1(1−x)q−1dx(p,q>0)
令$x=\frac{y}{1+y}\in(0,1)$x=1+yy​∈(0,1)其中$y>0$y>0,那么
$1-x=\frac{1}{y+1},dx=\frac{dy}{(1+y)^2}$1−x=y+11​,dx=(1+y)2dy​
则有$B(p,q)=\int_{0}^{1}\frac{y^{p-1}}{(1+y)^{p+q}}dy$B(p,q)=∫01​(1+y)p+qyp−1​dy
再令$q=1-p$q=1−p,得到
$B(p,1-p)=\int_{0}^{1}\frac{y^{p-1}}{(1+y)}dy$B(p,1−p)=∫01​(1+y)yp−1​dy
又因为$\frac{\Gamma(p)\Gamma(1-p)}{\Gamma(1)}=B(p,1-p)\text{且}\Gamma(1)=1$Γ(1)Γ(p)Γ(1−p)​=B(p,1−p)且Γ(1)=1
所以$\Gamma(p)\Gamma(1-p)=B(p,1-p)=\int_{0}^{1}\frac{y^{p-1}}{(1+y)}dy=\frac{\pi}{\sin p\pi}.$Γ(p)Γ(1−p)=B(p,1−p)=∫01​(1+y)yp−1​dy=sinpππ​.

练习 $\int_{0}^{1}(\ln\Gamma(x))\sin\pi xdx.$∫01​(lnΓ(x))sinπxdx.

解：不妨先做代换令$x=1-t$x=1−t.
$I=\int_{0}^{1}(\ln\Gamma(x))\sin\pi xdx=\int_{0}^{1}(\ln\Gamma(1-t))\sin\pi tdt$I=∫01​(lnΓ(x))sinπxdx=∫01​(lnΓ(1−t))sinπtdt
二式相加
$2I=\int_{0}^{1}(\ln\Gamma(x))\sin\pi xdx+\int_{0}^{1}(\ln\Gamma(1-t))\sin\pi tdt$2I=∫01​(lnΓ(x))sinπxdx+∫01​(lnΓ(1−t))sinπtdt
$=\int_{0}^{1}\ln\left(\frac{\pi}{\sin\pi x} \right)\sin\pi xdx$=∫01​ln(sinπxπ​)sinπxdx
$=\int_{0}^{1}\sin\pi x\cdot\ln\pi xdx-\int_{0}^{1}\sin\pi x\ln\sin\pi xdx$=∫01​sinπx⋅lnπxdx−∫01​sinπxlnsinπxdx
$=\frac{2\ln\pi}{\pi}+\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{1}\ln(1-\cos^2\pi x)dcos\pi x$=π2lnπ​+2π1​∫01​ln(1−cos2πx)dcosπx
$= \frac{2\ln\pi}{\pi}-\frac{1}{2\pi}\left[\int_{-1}^{1}\ln(1+t)dt+\int_{-1}^{1}\ln(1-t)dt\right].$=π2lnπ​−2π1​[∫−11​ln(1+t)dt+∫−11​ln(1−t)dt].

可以推出
$I=\frac{1}{\pi}\left(1+\ln\frac{\pi}{2} \right).$I=π1​(1+ln2π​).

倍元公式

$\Gamma(2\alpha)=\frac{2^{2\alpha-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})(\alpha>0)$Γ(2α)=π​22α−1​Γ(α)Γ(α+21​)(α>0)

LaTeX模板部分