初步认识ADRC与应用

这是一个目录

• ADRC的基本原理
• 一、参考资料推荐
• 二、为什么PID好，以及，为什么PID不够好
• 1.为什么PID好——基于模型的现代控制理论不实用
• 2.为什么PID不够好——PID的缺点
• 三、ADRC给出的方案——如何保留PID的优点，同时弥补PID的缺点
• 1. 误差的取法——安排过渡过程
• 2. 由误差提取误差微分的方法——跟踪微分器
• 3. 加权和的策略不一定最好——非线性反馈
• 4. 积分反馈的副作用——扩张状态观测器
• ADRC的公式以及参数整定
• 一、跟踪微分器（TD）
• 二、非线性反馈函数
• 三、扩张状态观测器（ESO）
• ADRC应用到二阶导弹模型
• matlab脚本
• simulink模型

ADRC的基本原理

一、参考资料推荐

想要初步了解ADRC，可以从韩京清教授的一篇文献和一本书看起
1.文献： 从PID技术到“自抗扰控制”技术（《控制工程》，2002）
2.书： 自抗扰控制技术——估计补偿不确定因素的控制技术

不过文章里讲的不是很细，是把之前多篇文章内容综合到一起提出了ADRC整体的控制框架。想要更深入学习当然还是看书更好一些。

二、为什么PID好，以及，为什么PID不够好

1.为什么PID好——基于模型的现代控制理论不实用

经典的PID控制直到如今都还是应用最广泛的控制算法，大部分的控制系统里用的都还是这个。它的好处主要在于，不需要被控对象的模型。

什么是被控对象的模型？

举个例子，假设我们以小车的速度$V$V为被控量，但是推动小车的力$F$F才是我们的控制量。

考虑阻力并假设阻力和速度成正比的话，根据牛顿第二定律我们可以得到小车的动力学方程 $F-kV=ma$F−kV=ma，其中$k$k为阻力系数，$m$m为小车质量。

根据质点运动学方程又有 $\dot{V}=a$V˙=a，

这样就可以得到利用外力$F$F控制小车速度$V$V的模型 $\dot{V}=-\frac{k}{m}V+\frac{1}{m}F$V˙=−mk​V+m1​F
（也就是 $\dot{x}=-Ax+Bu$x˙=−Ax+Bu的线性模型的结构）
OK，这个方程通常就是我们需要的，如果要应用现代控制理论（比如最优控制）设计一个控制器，那么我们就需要知道这个模型的全部信息东西，在这里就是模型的结构以及阻力系数$k$k和小车质量$m$m。

获得这个模型存在两个问题：

1. 实际工程的模型结构远比这复杂。比如阻力和速度的关系可能并不是成正比，我们只是这么假设的，实际的的关系可能是一个复杂的非线性函数。
2. 模型的参数难以获得。这里的阻力系数$k$k和小车质量$m$m好像挺容易获得的，但是实际被控对象的模型参数可能要多的多，有些是很难获得的。

由于模型难获得，而现代控制理论又大多基于模型设计，因此大都不够实用，这也就导致了PID一直称霸各个控制领域。因为PID是只利用误差 $e$e 来计算控制量的，只需要调一调 $K_P,K_I,K_D$KP​,KI​,KD​ 三个参数就能得到可以接受的效果。

2.为什么PID不够好——PID的缺点

注意到前面说 PID 能得到可以接受的效果，我们当然希望PID能够得到更好的控制效果，那么PID还有哪些不足呢？

以下摘自前面说的韩京清的那篇文章

1. 误差的取法
2. 由误差提取误差微分的方法
3. 加权和的策略不一定最好
4. 积分反馈有许多副作用

三、ADRC给出的方案——如何保留PID的优点，同时弥补PID的缺点

上一节写了PID的几个缺点，下面一条一条解释这些缺点的意思，并给出ADRC的解决方案：

1. 误差的取法——安排过渡过程

直接根据给定指令计算误差可能会导致控制效果变差，比如有些指令里包含了我们不希望的高频信号，这类信号的例子有：阶跃指令，方波指令。
为了将高频信号解决掉，ADRC提出了安排“过渡过程”的方法，类似于把给定指令进行低通滤波，得到一个更容易实现的指令。

这里给个例子，考虑两个系统，一个带有指令滤波，一个不带：


当指令为单位阶跃指令，只用一个增益$K=2$K=2来控制二阶系统$\frac{1}{s^2+s}$s2+s1​的时候，有无指令滤波器的效果如下：

不难看到，加了指令滤波器之后，虽然上升速度变慢了，但是超调更小了，调节时间基本没变，甚至还缩短了。
安排过渡过程也是类似这样的道理。

2. 由误差提取误差微分的方法——跟踪微分器

利用经典的滤波器来获得微分信号，如果想要使得微分更加准确，会不可避免的放大噪声。能不能即使微分准确，又不使得噪声被过度放大？
结合1和2，ADRC提出了一种跟踪-微分器，在安排过渡过程的同时获得指令微分。跟踪的意思就是跟踪指令信号。

3. 加权和的策略不一定最好——非线性反馈

传统的线性反馈方式（就是误差直接乘上一个增益）在收敛速度以及抗扰动能力上存在不足。
ADRC的方案是 用非线性函数代替传统的增益（用非线性反馈代替线性反馈）。
这里也可以举个例子，比较两个系统，分别使用线性反馈和非线性反馈：(1) $\dot{x}=-Kx$x˙=−Kx
以及 (2) $\dot{x}=-K*sign(x)*|x|^\alpha(\alpha<1)$x˙=−K∗sign(x)∗∣x∣α(α<1)
假设$x_0≠0$x0​​=0，则可以证明系统(2)能在有限时间内收敛到0，而系统(1)是指数收敛的，意思是永远收敛不到0。

这里也给一个仿真例子：

初始值为1时，仿真结果：

可以看到非线性反馈更快地收敛到0了，不过需要注意的是非线性反馈相对于线性反馈的快速性的优势只在$x<1$x<1的时候才有，而且在靠近$x=1$x=1的附近容易引起颤振。

4. 积分反馈的副作用——扩张状态观测器

积分的主要作用之一就是消除扰动（可以认为它是简单的扰动观测器），但是积分起作用比较慢，而且还会引起超调。
所以ADRC直接把积分舍弃了，使用扩张状态观测器来观测总扰动，将系统补偿成纯积分链（不知道这个学名是啥）的形式。这样控起来就容易多了，可以说，扩张状态观测器是ADRC的灵魂和精髓所在，在它面前，前面几个都是次要的。

用一个例子说明一下上面所说的几点：

假设某系统 $\dot{x}=u+w$x˙=u+w，其中$x$x为状态量（也是被控量），$u$u为控制量，$w$w为未知的总扰动（包括模型偏差或者外部扰动等等）。

比较两种情况，一种是$w$w没有被补偿，在线性反馈的基础上加上积分反馈去抵消，以达到无静差的目的。另一种是把$w$w补偿掉，只剩一个积分环节，采用普通的线性反馈。

第一种情况：$u=-K_P*x-K_I*\int{x}d\tau$u=−KP​∗x−KI​∗∫xdτ

$w=0.2,x_0=1$w=0.2,x0​=1，取$K_P=2$KP​=2

先看一下没有积分反馈（也就是$K_I=0$KI​=0）时$x$x最后能控成什么样子
得到的 $x$x 的仿真结果为：

接着给出有积分反馈（如上上图，也就是$K_I=0.8$KI​=0.8）时$x$x最后能控成什么样子
得到的 $x$x 的仿真结果为：

再看一下$K_I*\int{x}d\tau$KI​∗∫xdτ与$w$w的对比情况

这里说的是积分器对扰动的观测效果，其实应该是补偿效果。可以看到积分环节产生的超调现象比较明显，并且如果积分增益取大了则超调就大，如果取的小则收敛就慢，没辙。

第二种情况我们把扰动去掉（假设被观测出来然后补偿掉了），只用一个$K_P$KP​来控，那么结果的就很容易想到了：闭环之后这是一个单纯的惯性环节，没有超调，收敛的快慢只和增益有关，增益越大，收敛越快。

和前面的图4一样：

对于一阶系统来说，就是把模型补偿成一个积分环节（$n$n阶系统补偿之后就是$n$n个积分串在一起）。
$x$x 的仿真结果：

通过对比可以发现，还是把扰动补偿掉更好。

利用扩张状态观测器，ADRC理论上可以把一个任意阶的系统补偿成任意阶的积分链，然后就可以用简单的线性控制方法去实现控制了，而且也能得到较好的控制效果。所以说扩张状态观测器是ADRC的精髓（个人理解哈）

ADRC的公式以及参数整定

前面一直是一些简单的例子解释说明ADRC的各个组成部分，只是对概念的理解。接下来要给出ADRC的公式以及我对其参数的理解，理解参数的含义能够大大提升参数整定的能力。

一、跟踪微分器（TD）

二、非线性反馈函数

三、扩张状态观测器（ESO）

ADRC应用到二阶导弹模型

matlab脚本

simulink模型