关于无差异曲线的几个概念的辨析——凸性、拟凹性、边际效用递减、边际替代率递减

拟凹性：所谓拟凹函数，就是相对坐标横轴，图像里没有下凸现象的曲线（下凸：斜率从负到零，又继续上升的现象）。亦即对任意两点x、y属于定义域，有：
$f(ax+(1-a)y)≥min[f(x),f(y)]$f(ax+(1−a)y)≥min[f(x),f(y)]
容易证明：若函数是拟凹的，当且仅当其定义域上的所有上轮廓集（upper contour set）都是凸的（凸集的定义：任意两点的连线被完全包含在集合内）。

参考 人大经济论坛

在最优化问题中，拟凸（凹）函数之所以重要，是因为严格拟凸（凹）函数的约束最优化取值不但是全局最优的，而且是唯一的。（二元变量情形下）拟凹函数满足下列不等式：
$f_{11}f_2^2+f_{22}f_1^2-2f_{12}f_1f_2<0$f11​f22​+f22​f12​−2f12​f1​f2​<0

凹（凸）函数一定是拟凹（凸）函数，但是反之不一定成立

图片来源：维基百科

凸性：偏好的凸性被解释为偏好是边际替代率递减的（不是边际效用递减），注意这里的凸性指的是图像的形状（连接无差异曲线上任意两点的直线在无差异曲线的上方），而不是函数的性质，函数具有的是拟凹性。

这个与数学中的凹凸性是反过来的

上图是具有凸性的无差异曲线

这张图就不具有凸性了，边际替代率不递减

总结：以下几个命题是等价的
无差异曲线是凸的$\Leftrightarrow$⇔无差异曲线是拟凹的$\Leftrightarrow$⇔边际替代率递减

证明：无差异曲线是拟凹的$\Leftrightarrow$⇔边际替代率递减
$MRS =-\frac{dy}{dx}= \frac{U_x}{U_y}\qquad (1)$MRS=−dxdy​=Uy​Ux​​(1)
$\frac{dMRS}{dx} = \frac{U_y(U_{xx}+U_{xy}\frac{dy}{dx})-U_x(U_{yx}+U_{yy}\frac{dy}{dx})}{U_y^2}\qquad (2)$dxdMRS​=Uy2​Uy​(Uxx​+Uxy​dxdy​)−Ux​(Uyx​+Uyy​dxdy​)​(2)
将(1)代入(2)中得到
$\frac{dMRS}{dx} = \frac{U_y(U_{xx}U_y-U_{xy}U_x)-U_x(U_{yx}U_y-U_{yy}U_x)}{U_y^3}=\frac{U_y^2U_{xx}+U_x^2U_{yy}-2U_xU_yU_{xy}}{U_y^3}$dxdMRS​=Uy3​Uy​(Uxx​Uy​−Uxy​Ux​)−Ux​(Uyx​Uy​−Uyy​Ux​)​=Uy3​Uy2​Uxx​+Ux2​Uyy​−2Ux​Uy​Uxy​​
因为$U_y>0$Uy​>0，即表示效用随着商品（经济品）y的数量增加而增加。
故$\frac{dMRS}{dx}<0 \Leftrightarrow U_y^2U_{xx}+U_x^2U_{yy}-2U_xU_yU_{xy}<0$dxdMRS​<0⇔Uy2​Uxx​+Ux2​Uyy​−2Ux​Uy​Uxy​<0
即证明无差异曲线是拟凹的和边际替代率递减是等价的。

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再辨析两个概念：边际效用递减和边际替代率递减
边际效用递减的数学表达式是$U_{xx}<0,U_{yy}<0$Uxx​<0,Uyy​<0

我个人非常容易将$U_x$Ux​当成边际效用递减，$U_x$Ux​表示的是边际效用，递减描述的是他的性质，还得再求一次导。

边际替代率递减数学表达式是与拟凹函数的判定式是一致的，即$U_{xx}^2U_y+U_{yy}^2U_x-2U_xU_yU_{xy}<0$Uxx2​Uy​+Uyy2​Ux​−2Ux​Uy​Uxy​<0，有很多书上说边际效用递减可以推出边际替代率递减，这是不够严谨的，两者的确切关系非常复杂。边际效用递减的假定（二阶偏导数为负数）不足以保证函数的拟凹性（还要考虑交叉项$U_{xy}$Uxy​）

例题（北大经院）判断正误：如果某效用函数为U(X,Y)，且$U_{xy}=0$Uxy​=0，那么边际效用递减是边际替代率递减的充分条件（√）