最优化问题——线性规划(一)

最优化问题——线性规划

1、线性规划问题的提出

我们首先从一个例子开始：

某个工厂利用原材料来生成A、B、C三种产品，它们的单位产品所需要的数量和耗费的加工时间各不相同，如下表所示。A、B、C单位产品的利润分别为4、5、7千元，问：应该如何安排生产计划，才能使得获得利润最大？

对于这个问题，我们首先整理一下题目中的变量，目标函数，以及约束条件。

变量：

根据题目的描述，可以知道变量为ABC三种产品的产量，假设用$x_1,x_2,x_3$x1​,x2​,x3​来表示。

目标函数：

根据题目的描述可知，我们的目标是希望利润最大，我们用变量来表示利润，最终确定目标函数为：

$S=4x_1+5x_2+7x_3$S=4x1​+5x2​+7x3​

约束条件：

根据题目的描述，可以知道，变量的取值不是任意的，其取值需要满足资源总量和总的工时的约束。所以，根据这两个方面的约束，和变量自身的特性，我们可以确定约束条件为：
$2x_1+1.5x_2+3x_3≤100\\ \frac{}{}\\ x_1+2x_2+2x_3≤150\\ \frac{}{}\\ x_i≥0，i=1,2,3$2x1​+1.5x2​+3x3​≤100​x1​+2x2​+2x3​≤150​xi​≥0，i=1,2,3

在确定目标，变量和约束条件之后，我们进一步将该问题抽象成一个数学模型，用如下的公式进行描述：
$min S=4x_1+5x_2+7x_3$minS=4x1​+5x2​+7x3​
$s.t. \begin{cases}2x_1+1.5x_2+3x_3≤100\\ x_1+2x_2+2x_3≤150\\ x_i≥0,i=1,2,3\end{cases}$s.t.⎩⎪⎨⎪⎧​2x1​+1.5x2​+3x3​≤100x1​+2x2​+2x3​≤150xi​≥0,i=1,2,3​

总结：

上述形式的问题被称为是一个线性规划问题，对于线性规划模型而言，其有如下几个基本的组成部分。包括

1. 一组决策变量，在例子中就是A,B,C的产量$x_1,x_2,x_3$x1​,x2​,x3​。
2. 一个目标函数，在例子中就是利润S。
3. 一组线性的约束条件。

2、线性规划问题的形式

对于线性规划问题而言，我们可以抽象出其一般的形式如下：

上述的式子中，目标函数是一个求最大或者最小值的目标函数，约束条件由多个不等式所组成，进一步，我们将上面的一般形式转换为线性规划问题的标准形式。如下图所示：

在LP的标准形式中，我们将目标函数统一转换为求最小值的形式，对于由不等式所组成的约束条件，我们也统一将其转换为等式的形式。下面，我们来讲述一下这个求解的过程。

在上面的转换过程中，需要着重注意的是松弛变量的引入。同时，对于变量$x_i$xi​，如果其没有有非负的条件约束，就引入$u_i,v_i$ui​,vi​，同时对$u_i,v_i$ui​,vi​进行非负数约束。

下面，我们举一个具体例子来计算一下这种转换的过程。

首先，我们对目标函数进行转换的过程，对于目标函数，将其转换成求最小值的过程：
$min(-2x_1+3x_2-x_3-3x_4)$min(−2x1​+3x2​−x3​−3x4​)
进一步，对于约束条件，引入松弛变量进行转换有：

$2x_1-x_2+3x_3+x_4-x_5=3\\ 3x_1+2x_2+2x_4=7\\ -x_1+4x_2-3x_3-x_4+x_6=6\\ x_1,x_3,x_4,x_6,x_5≥0，x_2无约束$2x1​−x2​+3x3​+x4​−x5​=33x1​+2x2​+2x4​=7−x1​+4x2​−3x3​−x4​+x6​=6x1​,x3​,x4​,x6​,x5​≥0，x2​无约束

由于$x_2$x2​不存在非负约束，所以引入变量u，v来生成一个新的约束，令$x_2=u_2-v_2$x2​=u2​−v2​，综上所述，转换成一个标准的LP形式为：
$2x_1-u_2+v_2+3x_3+x_4-x_5=3\\ 3x_1+2u_2-2v_2+2x_4=7\\ -x_1+4u_2-4v_2-3x_3-x_4+x_6=6\\ x_1,x_3,x_4,x_5,x_6,u_2,v_2≥0$2x1​−u2​+v2​+3x3​+x4​−x5​=33x1​+2u2​−2v2​+2x4​=7−x1​+4u2​−4v2​−3x3​−x4​+x6​=6x1​,x3​,x4​,x5​,x6​,u2​,v2​≥0

3、线性规划求解方法

3.1 图解法

对于线性规划问题，最简单的思路就是采用图解法，这种方法简单的来讲就是将各个约束条件画出来，按照不等式的各个约束条件来确定各个变量的可行区域。最终寻找各个可行域之间的交集，最后确定解。

我们下面举一个例子来说明这种方法：

首先，我们可以根据各个约束条件来确定可行域的交集，如下图所示：

根据各个约束条件，我们可以确定最终的可行域就是ABCO组成的四边形。然后，做出关于$4x_1+3x_2=z$4x1​+3x2​=z的等值线，最终可以确定B为极大值点。

例子2：

根据上面的约束条件，我们可以确定变量的可行区域为下图所示：

进一步，我们可以做出$4x_1+3x_2=z$4x1​+3x2​=z的等值线，最终可以发现，在可行区域内不存在最大值。

3.2 图解法总结

1. 图解法适合变量比较少的情况，因为能够作图，变量较多，作图很困难。
2. 图解法的思想比较简单。

3.3 线性规划问题的求解

通过上面的例子，我们可以总结一下LP问题的解是否存在的特点。

4、参考

1.最优化方法——BIliBIli