最优化问题——线性规划(二)

最优化问题——线性规划(二)

在之前的文章最优化问题——线性规划(一)中，我们简单的介绍了线性规划问题的引入，基本形式和图解法求解。接下来，我们开始讲述线性规划问题的一般求解过程。

1、线性规划中的一些基本概念

满足所有的约束条件的解称为可行解，所有的可行解组成的集合称为可行域。

这里，我们对线性规划的标准型进行一些变换，为了更好的理解上面的变换过程，我们下面举一个例子来说明一下：

我们给定变量$x_1,x_2,x_3$x1​,x2​,x3​，给定下面的约束条件：
$x_1+2x_2+3x_3=b_1\\ x_1+2x_2+x_3=b_2\\ x_1+2x_2+2x_3=b_3$x1​+2x2​+3x3​=b1​x1​+2x2​+x3​=b2​x1​+2x2​+2x3​=b3​
进一步，我们将上面的约束抽象成矩阵的形式：
$A = \begin{matrix}1&2&3\\ 1&2&1\\ 1&2&2\end{matrix}$A=111​222​312​
同时，将变量抽象成一个矩阵的形式有：
$x=\begin{matrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{matrix}$x=x1​x2​x3​​
对于A矩阵中的第一列，表示的是三个约束条件中关于$x_1$x1​的系数，同理第二列和第三列也是如此。在转成上图所示的标准型之后，其求和的过程为
$x_1+x_1+x_1+2x_2+2x_2+2x_2+3x_3+x_3+2x_3=b_1+b_2+b_3=b$x1​+x1​+x1​+2x2​+2x2​+2x2​+3x3​+x3​+2x3​=b1​+b2​+b3​=b
这也就解释了上面的标准型的变化过程。

进一步，我们引入一些其他的概念：


这里需要注意的是，B和N中的P是A中的一列。进一步，我们可以推导出如下的形式：

如果，非基变量为零，那么我们就可以计算出基解，我们给出基解的概念：

可行解： 满足约束条件AX=b，和各个元素$x_i>0$xi​>0的解称为可行解。

我们下面举一个例子来将上面的概念再来理解一下有：

首先，我们计算出矩阵A为：
$A=\begin{matrix}1&-2&-1&4\\ 2&2&-2&-1\end{matrix}$A=12​−22​−1−2​4−1​
根据矩阵A可以值秩为2，所有我们确定矩阵$B_{2*2}$B2∗2​这里我们选择前两列的元素来组成B，则有B为
$B=\begin{matrix}1&-2\\ 2&2\\ \end{matrix}$B=12​−22​
下面令非基变量$x_3=x_4=0$x3​=x4​=0，则可以计算出来：
$\begin{cases}x_1-2x_2=8\\ 2x_1+2x_2=2\end{cases}${x1​−2x2​=82x1​+2x2​=2​
解的一个基解为：
$\begin{cases}x_1=\frac{10}{3}\\ x_2=-\frac{7}{3}\end{cases}${x1​=310​x2​=−37​​
这样，我们计算出来了一个基解$x=(\frac{10}{3},-\frac{7}{3},0,0)$x=(310​,−37​,0,0)，但是其不是基可行解。

进一步，我们取矩阵A的第1列和最后一列，也就是说$x_2=x_3=0$x2​=x3​=0，计算方式与上述相同，最终的计算结果为：$x=(\frac{16}{9}.0,0,\frac{14}{9})^T$x=(916​.0,0,914​)T这是一个基解，也是一个基可行解。

进一步，我们给出可行解，基解，基可行解的关系图：

2、LP问题中关于解的相关定理

2.1 A中的线性无关性

假设$x^0=(x_1^0,x_2^0,....,x_n^0)^T∈F$x0=(x10​,x20​,....,xn0​)T∈F，则$x^0$x0是线性规划LP的基可行解等价于$x^0$x0中的各个正分量对应的A中的对应列是线性无关的。

2.2 极点

2.3 极点和解的相关定理

3、参考

1. 最优化方法——Bilibili