[计算机视觉中的多视几何](2.2.3)2D中的圆锥曲线

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我们这里的讲解都是在2D平面上面的. 现在我们来看看圆锥曲线(conics).

conics

在欧拉几何里面, 常见的有三中圆锥曲线. 双曲线, 椭圆, 抛物线.
当然还有退化的圆锥曲线,
后面我们会讲什么是退化的圆锥曲线.我们先来看看在非齐次坐标系下面,圆锥曲线的正式定义.

$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$

如果换到齐次坐标系里面我们得到
$ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2+dx_1x_3+ex_2x_3+fx_3^2=0$

或者表示成矩阵形式为 $\mathbf{x}^T\mathbf{C}\mathbf{x}=0$

其中,
$\mathrm{C}=\left[\begin{array}{ccc}a & b / 2 & d / 2 \\ b / 2 & c & e / 2 \\ d / 2 & e / 2 & f\end{array}\right]$

注意这是一个对称矩阵. 另外这个矩阵的自由度为5, 因为 $h\cdot C, h\neq 0$
行程的等价类表示同一个圆锥曲线. 所以, $\{a:b:c:d:e:f\}$
5个比值唯一确定一个圆锥曲线.

Five points define a conic

另外, 五个点也可以唯一确定一个圆锥曲线.因为

$a x_{i}^{2}+b x_{i} y_{i}+c y_{i}^{2}+d x_{i}+e y_{i}+f=0$

那么,方程可以写成.

$\left(\begin{array}{llllll}x_{i}^{2} & x_{i} y_{i} & y_{i}^{2} & x_{i} & y_{i} & 1\end{array}\right) \mathbf{c}=0$

这样只要有5个点, 就可以写成一个方程组.

$\left[\begin{array}{cccccc}x_{1}^{2} & x_{1} y_{1} & y_{1}^{2} & x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2}^{2} & x_{2} y_{2} & y_{2}^{2} & x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3}^{2} & x_{3} y_{3} & y_{3}^{2} & x_{3} & y_{3} & 1 \\ x_{4}^{2} & x_{4} y_{4} & y_{4}^{2} & x_{4} & y_{4} & 1 \\ x_{5}^{2} & x_{5} y_{5} & y_{5}^{2} & x_{5} & y_{5} & 1\end{array}\right] \mathbf{c}=\mathbf{0}$

而这五个方程组形成了一个 $5\times 6$ 的矩阵.
那么解 $\mathbf{c}$ ,就是这个矩阵的null space.
注意如果矩阵的秩为5,那么这个null space的维度为1, 那么它所表示的等价类,
唯一确定一个圆锥曲线.

Tangent lines to conics

过点 $\mathbf{x}$ , 的切线 $\mathbf{l}$ 定义为, 其中 $\mathbf{x}$ 是 $C$ 上一点.
$\mathbf{l} = \mathbf{Cx}$

证明:

$\mathbf{l}^T\cdot \mathbf{x}=\mathbf{x^TCx}=0$

可见, $\mathbf{x}$ 在直线上,
再来证明唯一性.假设,有两个点 $\mathbf{x,y}$ 都在这条直线上和 $C$ 上.那么.

$(\mathbf{x}+\alpha \mathbf{y})^TC(\mathbf{x}+\alpha\mathbf{y})=0$

也就是说, 直线上的所有点都在 $C$ 上, 如果 $C$ ,
是一个非退化的圆锥曲线.那么这种情况是不可能的. 因为圆锥曲线不可能是直线.

圆锥曲线的对偶

如图所示的, $\mathbf{x}^TC\mathbf{x}=0$ 表示二维空间中的圆锥曲线.
而 $\mathbf{l}^TC^{*}\mathbf{l}=0$ 表示所有和 $C$ ,相切的直线.
它就是圆锥曲线的对偶.

[计算机视觉中的多视几何](2.2.3)2D中的圆锥曲线

同理5条直线可以确定一个圆锥曲线对偶.

Degenerate conics

如果 $C$ 不满秩, 那么这种就叫做退化圆锥曲线. 如果 $Rank(C)=2$ ,
那么这个曲线退化为2条直线, 如果 $Rank(C)=1$ 退化为一条直线.
对于圆锥曲线对偶, 如果 $C^{*}$ 不满秩, 那么如果 $Rank(C^{*})=2$ .
那么这个对偶退化成两个点,. 如果 $Rank(C^{*})=1$ ,
这个对偶退化为一个点.