堆排序的实现思想
讲堆排序前先了解一下什么是二叉堆：
二叉堆的定义
二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。
二叉堆满足二个特性：
- 父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
- 每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。
当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的
键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：
由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为
堆。
堆的存储
一般都用数组来表示堆，i 结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下
标分别为 2 * i + 1 和 2 * i + 2。如第 0 个结点左右子结点下标分别为 1 和 2。
堆的操作(插入和删除)
下面先给出《数据结构 C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解:
- 插入
每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中。 - 删除
按定义，堆中每次都只能删除第 0 个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。
堆的建立
有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。不用一个一个的从数组中取出数据来建立堆，可以将叶子节点看成以堆化的子树。
堆排序
首先可以看到堆建好之后堆中第 0 个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第 0 个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。
代码实现
public class HeapSort {
//建立最小堆
public static void makeMinHeap(int[] a) {
int n = a.length;
for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
minHeapFixdown(a, i, n);
}
//堆排序
public static void MinheapsortTodescendarray(int[] a) {
int n = a.length;
for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
swap(a[i], a[0]);
minHeapFixdown(a, 0, i);
}
}
//添加元素
public static void minHeapAddNumber(int[] nums,int size,int number){
nums[size] = number;//将新元素放到数组末尾
minHeapFixUp(nums,size);//添加完后开始修正堆
}
//添加元素后修正堆
public static void minHeapFixUp(int[] nums,int size){
int j,temp;
temp = nums[size];
j = (size - 1) / 2;//父节点的下标
while (j >= 0 && size != 0){
if(nums[j] <= temp)
break;
nums[size] = nums[j];
size = j;
j = (size - 1) / 2;//继续向父节点找
}
nums[size] = temp;
}
//删除元素
public static void minHeapDeleteNumber(int[] nums, int size) {
swap(nums[0], nums[size - 1]);//将第一个元素与最后一个元素交换
minHeapFixdown(nums, 0, size - 1);//删除后修正堆
}
//删除后修正堆
public static void minHeapFixdown(int[] nums,int root,int size){
int j, temp;
temp = nums[root];
j = 2 * root + 1;
while (j < size)
{
if (j + 1 < size && nums[j + 1] < nums[j]) //在左右孩子中找最小的
j++;
if (nums[j] >= temp)
break;
nums[root] = nums[j]; //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点
root = j;
j = 2 * root + 1;
}
nums[root] = temp;
}
//交换
public static void swap(int root,int last){
int temp = root;
root = last;
last = temp;
}
}
总结
堆中插入和取出的时间复杂度均为 O(logN)，所以堆排序算法的时间复杂度为 O(logN)，但是堆排序也需要额外的和待排序序列大小相同的存储空间。其空间复杂度为 O(N)。