几何问题一则

△ABC的角平分线分别是AD、BE、CF，∠BAC=120°，求证：DE⊥DF。
几何问题一则
设B为(−1,0)，C为(1,0)，∠ACB=u，那么，A的坐标是：

(sin (2 u) 3 \sqrt - cos (2 u), sin (2 u) - 2 sin 2 (u) 3 \sqrt)

D的坐标是：

(3 - 12 3 \sqrt tan (u) + 3, 0)

E的坐标是：

(3 \sqrt sin (2 u) - 2 cos (u) + cos (2 u) 2 cos (u) - 1, - 2 sin (u) (3 \sqrt sin (u) + cos (u) - 2) 2 cos (u) - 1)

F的坐标是：

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2 sin (u) (sin (u) - 3 \sqrt cos (u)) 3 \sqrt sin (u) + cos (u) - 1 + 1, 4 sin 2 (u 2) (3 \sqrt cos (u) - sin (u)) 3 \sqrt sin (u) + cos (u) - 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟

向量DE−→−为：

(2 3 \sqrt sin (u) (1 - 2 cos (u)) 3 \sqrt sin (u) + 3 cos (u), 2 sin (u) (3 \sqrt sin (u) + cos (u) - 2) 2 cos (u) - 1)

向量DF−→−

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ - 4 sin 2 (u 2) (2 3 \sqrt sin (u) - 3) (2 cos (u) + 1) (3 \sqrt sin (u) + cos (u) - 1) (3 \sqrt sin (u) + 3 cos (u)), 4 sin 2 (u 2) (sin (u) - 3 \sqrt cos (u)) 3 \sqrt sin (u) + cos (u) - 1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟

而，DE−→−⋅DF−→−=0，所以，DE⊥DF。