斜率优化讲解
最近学习了一下斜率优化，在这里讲解一下我本人的理解。
首先，斜率优化用于什么问题呢？当我们有一个dp题目的时候，发现如果正常写代码会TLE，这时候我们就可以想一想单调队列优化，或者是斜率优化，亦或是别的算法。下面我给出一个式子： $f[i]=f[j]+calc(j)$。
我首先要讲解一下单调队列的适用范围，并且让大家回顾一下单调队列（斜率优化也需要单调队列进行维护）。我们看上面这个式子，是不是大多数的dp式子的模型？就是不同题目中calc这个函数的运算不同，如果当calc之中的每一项都只含有i或者是j，这两个字母，没有相乘的情况我们就可以用单调队列，这个不难理解，举个例子，像下面的这个式子：$f[i]=max\{f[j]+a*num[j]\}$，就可以用单调队列维护，因为整个式子之中只有关于i的单独项和关于j的单独项。但是像这样的式子就不可以了：$f[i]=max\{f[j]+(sum[i]+sum[j])^2\}$，因为这个式子展开后就会出现关于I的式子乘上关于j的式子。下面我要讲解一下斜率优化的应用。
我们读一道题目，并以这道题目为例题：链接——bzoj1010玩具装箱toy。
第一步（列方程）：这道题目很容易就能够分析出来是一道dp的题目，dp方程是：f[i]表示打包到第一个玩具的最小费用，sum[i]表示的是一号玩具到第i号玩具的长度和，$f[i]=min\{f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-l)^2\}$，这个方程是不是很好理解？
第二部（数学部分，移项）：对于这道题目，我们可以运用斜率优化，而斜率优化的最关键的步骤就是移项这一步。
$f[i]=f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-l)^2 \Downarrow$
$f[i]=f[j]+[(sum[i]+i)-(sum[j]+j)-(l+1)]^2 \Downarrow$
令$s[i]$表示$(sum[i]+i)$，$l=l+1$。
$f[i]=f[j]+(s[i]-s[j]-l)^2 \Downarrow$
$f[i]=f[j]+s[i]^2+(s[j]+l)^2-2*s[i]*(s[j]+l) \Downarrow$
$f[i]+2*s[i]*(s[j]+l)=f[j]+s[i]^2+(s[j]+l)^2$
就这样式子就变形好了，我们观察，这个式子是不是和直线的$y=kx+b$很像？我们可以设方程之中的$(s[i]+l)$为横坐标，$2*s[i]$为斜率k，$f[i]$为纵坐标上的截距，$f[j]+s[i]^2+(s[j]+l)^2$为纵坐标，这样我们就可以的每一个I的式子就可以有一个点（s[i]+i，f[i]）（注：因为我们下面要求的是斜率，所以两个点的横坐标相减，纵坐标相减，相同的项会被减掉，所以就只剩下前面所书写的点的坐标之中的式子了），这样我们可以绘制一个图（下图），斜率优化就是在更新i的时候把之前所有的点放在图中，并用当前直线去切，找到结局最小的点，并更新。在下图之中，我们可以发现，这个点一定在我们维护的凸包上，像点B这样的点就不能被用来更新，下图之中只有点D在当前直线上时能使斜率最小，根据是由点D转移，我们可以发现，当两个点（A，C）的斜率小于2*s[i]的时候，横坐标小的点一定不能用来转移，同理斜率大于2*s[i]的两个点，横坐标大的也不能够用来转移，这个性质是不是很好？
下面就是这道玩具装箱的代码，如果还有不会的，可以根据代码理解一下。
#include <stdio.h>
#define N 50001
int n,l,head,tail;
long long f[N],s[N],q[N];
double re_x(int i){return s[i];}
double re_y(int i){return f[i]+(s[i]+l)*(s[i]+l);}
double re_k(int i,int j){return (re_y(j)-re_y(i))/(re_x(j)-re_x(i));}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&l);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&s[i]),s[i]+=s[i-1];
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]+=i;
q[tail]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(head<tail&&re_k(q[head],q[head+1])<2*s[i]) head++;
f[i]=f[q[head]]+(s[i]-s[q[head]]-l-1)*(s[i]-s[q[head]]-l-1);
while(head<tail&&re_k(q[tail],i)<re_k(q[tail],q[tail-1])) tail--;
q[++tail]=i;
}
printf("%lld\n",f[n]);
}
如果还有不会的，可以发评论问我，或者是推荐一篇博客链接。