题目大意
对于 \(1\) 位的二进制变量定义两种运算 \(⊕\) 和 \(\times\) 。
运算的优先级是：
-
先计算括号内的，再计算括号外的
-
\(\times\) 运算优先于 \(⊕\) 运算
现在给出一个包含 \(L\) 个字符且仅含运算符号和括号的式子，例如 _+(_*_) ，输入时不含下划线，在 _ 处填上 \(0\) 或 \(1\) ，试求最终一共有多少种方案使得式子最终的运算结果为 \(0\) 。由于结果可能很大，请输出方案数对 \(10007\) 取模后的结果。\(L \leq 10^5\) 。
解题思路
这是某次模拟赛的 \(B\) 题。当时看到题以为要转化成某种神秘的模型，一度想出了近似 \(O(nlogn)\) 的递归做法，后来事实证明这就是一个类 \(dp\) 算法，它作为一道表达式的题目，甚至不需要将中缀表达式转换成后缀表达式……有大佬考场曾经使用了上述算法，最终不幸爆炸（恶毒鹿：勿 \(cue\)）
言归正传。这道题作为一道表达式求值的题目，自然能想到用 栈 来处理中缀表达式。我们开一个栈，第一个记录到目前为止的所有待运算符号。接着用两个 类栈数组 分别记录可以使目前的运算结果为 \(0\) 和 \(1\) 的方案总数。
处理式子时略微修改正常的中缀表达式求值代码就好。如果有不清楚如何求中缀表达式的同学，可以接着往下看，最后会有一遍总流程描述。
接着，我们考虑这个题目的性质。假如我们遇到了一个非括号的运算符号，那么我们应该考虑如何求出使它的运算结果为 \(0\) 和 \(1\) 的方案总数。假设使倒数第二次运算结果为 \(0\) 的方案总数为 \(p\) ，为 \(1\) 的方案总数为 \(q\) ；使最后一次运算结果为 \(0\) 的方案总数为 \(x\) ，为 \(1\) 的方案总数为 \(y\) 。
分类讨论，假如遇到的是符号 \(⊕\) ，那么根据运算法则，要想令结果为 \(0\) ，两个操作数只能是 \(0\) 。根据乘法原理，此时结果为 \(0\) 的方案总数为 \(x \times p\) 。要想令结果为 \(1\) ，两个操作数可以分别是 \(0\) 和 \(1\) 、\(1\) 和 \(0\) 、\(1\) 和 \(1\) 。所以此时的方案总数是 \(x \times q + y \times p + y \times q\) 。
假如遇到的是符号 \(\times\) 。根据运算法则，要想令结果为 \(0\) ，两个操作数可以是 \(0\) 和 \(0\) 、\(0\) 和 \(1\) 、\(1\) 和 \(0\) ，所以方案总数是 \(x \times p + x \times q + y \times p\) 。要想令结果为 \(1\) ，两个操作数只能是 \(1\) ，所以方案总数是 \(y \times q\) 。
现在，我们已经知道了如何求出各种运算的方案总数。接下来，我们应该思考一些有关于题目的细节。我们不妨来模拟一遍处理符号的流程：
-
假如遇到了 \((\) ，它的优先级最高，所以我们应该直接直接把它压入符号栈，等待与 \()\) 的匹配。
-
假如遇到了 \(\times\) ，因为它的优先级次高，而左括号必须等待右括号与其匹配时才能出栈，所以直接把它压入符号栈。同时压入相应的操作数。
-
假如遇到了 \(⊕\) ，因为 \(\times\) 的优先级比它高，所以我们必须先把栈顶的所有 \(\times\) 处理完才能把它压入符号栈。同时压入相应的操作数。
-
假如遇到了 \()\) ，说明两个括号之间的运算符优先级最高，我们一直处理符号栈的栈顶，直到 \((\) 出栈。
接着考虑类栈数组的维护。考虑这样一个问题：\((\) 的左边和 \()\) 的右边是不能存在操作数的。所以当遇到非括号的运算符时，因为此时运算符刚刚入栈，只有在运算符出栈的时候才能进行运算。因此，我们可以把这种情况看作是没有运算符，所以结果为 \(0\) 和 \(1\) 的方案总数分别只有 \(1\) 种，也就是它们本身。每次符号栈出栈时就从两个类栈数组中取出栈顶，按照上述的规则进行计算。
最后，如果符号栈中还存在符号，我们应该把这些符号依次处理，直到栈空为止。最后，类栈数组中只剩下了一个元素。我们把这个元素直接输出即可。
总而言之，这是一道细节比较繁琐的题目，不愧是普及组的压轴 \(dp\)。此题用中缀表达式转后缀表达式（逆波兰表达式）的做法也可以做，思路比较清晰，但是码量略大。在这里同时附上两份标程，在此特别感谢提供后缀表达式做法的 EDqwq 大佬！
参考代码
笔者标程
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
const int mod = 10007;
int n, cnt, tot;
int dp[maxn][2];
char c[maxn], a[maxn];
void solve(char c) {
int x = dp[cnt][0], y = dp[cnt][1];
int p = dp[cnt - 1][0], q = dp[cnt - 1][1];
cnt--;
if (c == \'+\') {
dp[cnt][0] = (x * p) % mod;
dp[cnt][1] = (x * q + y * p + y * q) % mod;
} else if (c == \'*\') {
dp[cnt][0] = (x * p + x * q + y * p) % mod;
dp[cnt][1]= (y * q) % mod;
}
}
int main() {
scanf("%d", &n);
scanf("%s", a);
if (a[0] != \'(\') {
dp[++cnt][0] = 1;
dp[cnt][1] = 1;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (a[i] == \'+\') {
char t = c[tot];
while (t == \'*\') {
solve(t);
tot--;
t = c[tot];
}
c[++tot] = a[i];
if (a[i + 1] != \'(\') {
dp[++cnt][0] = 1;
dp[cnt][1] = 1;
}
} else if (a[i] == \'*\') {
c[++tot] = a[i];
if (a[i + 1] != \'(\') {
dp[++cnt][0] = 1;
dp[cnt][1] = 1;
}
} else if (a[i] == \'(\') {
c[++tot] = a[i];
if (a[i + 1] != \'(\') {
dp[++cnt][0] = 1;
dp[cnt][1] = 1;
}
} else {
char t = c[tot];
while (t != \'(\') {
solve(t);
tot--;
t = c[tot];
}
tot--;
}
}
while (tot) {
solve(c[tot]);
tot--;
}
printf("%d\n", dp[1][0]);
return 0;
}
后缀表达式
#include<bits/stdc++.h>
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define mod 10007
using namespace std;
int read() {
int s = 0,w = 1;
char ch = getchar();
while(ch < \'0\' || ch > \'9\') {
if(ch == \'-\')w = -1;
ch = getchar();
}
while(ch >= \'0\' && ch <= \'9\')s = s * 10 + ch - \'0\',ch = getchar();
return s * w;
}
int n;
string s;
string a;
int ans;
stack <char> q;
stack <int> q1;
stack <int> q2;
signed main() {
a = "";
cin>>n;
cin>>s;
s = \'#\' + s;
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
if(q.empty()) {
q.push(s[i]);
if(s[i] != \'(\' && s[i] != \')\')a += \'%\';
continue;
}
if(s[i] == \'(\' || s[i] == \'*\')q.push(s[i]);
if(s[i] == \'+\') {
while(!q.empty() && q.top() == \'*\')a += q.top(),q.pop();
q.push(s[i]);
}
if(s[i] == \')\') {
while(!q.empty() && q.top() != \'(\') {
a += q.top();
q.pop();
}
q.pop();
}
if(s[i] != \'(\' && s[i] != \')\')a += \'%\';
}
while(!q.empty())a += q.top(),q.pop();
a = \'%\' + a;
n = a.length();
a = \'#\' + a;
for(int i = 1; i <= n; i ++) {
if(a[i] == \'%\')q1.push(1),q2.push(1);
if(a[i] == \'*\') {
int v1,v2;
v1 = q1.top();
v2 = q2.top();
q1.pop();
q2.pop();
int v3,v4;
v3 = q1.top();
v4 = q2.top();
q1.pop();
q2.pop();
q1.push((v1 * v4 + v1 * v3 + v2 * v3) % mod);
q2.push(v2 * v4 % mod);
}
if(a[i] == \'+\') {
int v1,v2;
v1 = q1.top();
v2 = q2.top();
q1.pop();
q2.pop();
int v3,v4;
v3 = q1.top();
v4 = q2.top();
q1.pop();
q2.pop();
q2.push((v1 * v4 + v2 * v4 + v2 * v3) % mod);
q1.push(v1 * v3 % mod);
}
}
while(!q1.empty())ans = q1.top(),q1.pop();
cout<<ans;
}