求导公式与法则
求导基础公式
\[(x^{a})^{\'}= ax^{a-1}
\\
(\sqrt{x})^{\'}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
\\
(\frac{1}{x})\'=-\frac{1}{x^2}
\\
(a^x)\'=a^x\ln{a}
\\
(\log_a{x})\'=\frac{1}{x\ln{a}}
\\
(\sin{x})\'=\cos{x}
\\
(\cos{x})\'=-\sin{x}
\\
(\tan{x})\'=\sec^2{x}
\\
(\cot{x})\'=-\csc^2{x}
\\
(\sec{x})\'=\sec{x}\tan{x}
\\
(\csc{x})\'=-\csc{x}\cot{x}
\\
(\arcsin{x})\'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\\
(\arccos{x})\'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\\
(\arctan{x})\'=\frac{1}{1+x^2}
\\
(arccot{x})\'=-\frac{1}{1+x^2}
\]
求导运算法则
设$ u(x)、v(x)$可导，则
| 四则求导法则 | 四则求微分法则 |
|---|---|
| $$ (u\pm v)\'=u\'\pm v\'$$ | $$d(u\pm v) = du\pm dv$$ |
| $$ (1)(uv)\'=u\'v+v\'u\ (2)(ku)\'=ku\'(k为常数)\ (3)(uvw)\'=u\'vw+uv\'w+uvw\'$$ | $$(1)d(uv)=udv+vdu\ (2)d(ku)=kdu(k为常数)\ (3)d(uvw)=vwdu+uwdv+uvdw$$ |
| $$(\frac{u}{v})\'=\frac{u\'v-uv\'}{v^2}$$ | $$d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}$$ |
复合函数求导法则-链式法则
设\(y=f(u)\)可导，\(u=\phi(x)\)可导，且\(\phi^{\'}(x)\neq0\)，则\(y=f[\phi(x)]\)可导，且
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx} = f^{\'}(u).\phi^{\'}(x)= f^{\'}[\phi(x)].\phi^{\'}(x)
\]
反函数求导法则
\[(1)设y=f(x)可导且f^{\'}(x)\neq0，又x=\phi(y)为其反函数，则x=\phi(y)可导，且\\
\phi^{\'}(y)=\frac{1}{f^{\'}(x)}
\\
设y=f(x)二阶可导且f^{\'}(x)\neq0，又x=\phi(y)为其反函数，则x=\phi(y)二阶可导，且\\
\phi^{\'\'}(y)=-\frac{f^{\'\'}(x)}{f^{\'3}(x)}
\]