概率期望
这是一个挺大的东西，又涉及到dp，又涉及到数学，就不知道咋分类
同时，这也是我最菜的几部分之一
符号 & 定义 & 基础知识
符号&定义
概率
\(P(A)\) 表示事件 \(A\) 发生的概率。
- 对于离散的情况，假设一共有 \(n\) 种情况均匀随机，其中 \(m\) 种使得事件 \(A\) 成立，那么 \(P(A)=\dfrac{m}{n}\)
因此，“概率”在很多情况下可以看作“计数”
当然，直接考虑概率也有好处，它相当于约掉了很多东西，让问题处理起来更加方便
- 对于连续情况：可以使用面积/体积的比来计算概率
\(P(A|B)\) 表示条件概率，即，我们假设 \(B\) 已经发生的条件下，\(A\) 多少概率发生
期望
对于随机变量 \(x\)，\(E(x)\) 表示 \(x\) 的期望。
-
对于离散的情况，它的值就是每一种可能值乘以它对应的概率
如，扔一个标准的骰子，朝上的点数的期望是 \(1\times\dfrac{1}{6}+2\times\dfrac{1}{6}...+6\times\dfrac{1}{6}=3.5\)
-
对于连续的情况，我们可以使用积分等手段计算期望，这里略
基础知识
注意：以下式子全都可以反过来用，做题的时候思维要灵活一些
概率
当 \(A,B\) 独立（即二者互不影响）时：
- \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\)
- \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
设 \(\overline{A}\) 表示 “\(A\) 不发生”，则 \(P(\overline{A})=1-P(A)\)
这个式子结合上面两个式子，可以使用容斥原理计算概率
\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) （条件概率）
若 \(A_1,A_2...A_n\) 恰好能覆盖所有情况（即，完备），对于事件 \(B\)，\(P(B)=\sum\limits_{i=1}^{n} P(B|A_i)\)
这个相当于是一个分类讨论，先按 \(A\) 分类，看 \(B\) 在这个条件下多少概率出现
就好比我家里有短裙和短袖，每种红绿蓝三种颜色的各一件，即，一共 \(6\) 件衣服
那我穿红色衣服的概率就是，穿红色短袖的概率+穿红色短裙的概率
期望
当 \(x,y\) 独立时，\(E(x+y)=E(x)+E(y)\) （期望的线性性）
这个式子有一个等价的表达，\(E(ax+by)=aE(x)+bE(y)\)，其中 \(a,b\) 是任意标量
当 \(x\) 是正整数时，\(E(x)=\sum\limits_{i} P(x\ge i)\)
证明就考虑一下一个 \(P(i)\) 被算多少次就行了，算一算发现这个次数正好是 \(1,2,3...n\)
而对于正整数的情况，期望正好是 \(\sum\limits_{i} i\times P(i)\)，\(P(i)\) 应该被算 \(1,2,3...n\) 次，正好一样，就对了
例题&思维方法 I
这是第一部分，暂且比较简单
（因为这块参考的课件是比较早的课件，好像是noip的集训）
poj2151 简单题
有两个限制：每个队都得做至少一个题（设为条件A），并且至少存在一个队做出来 \(k\) 个题 （设为条件B）
我们要求 \(A\cap B\) 的概率。众所周知，\(P(A\cap B)=P(A)-P(A\cap\overline{B})\)
为什么这么考虑呢，因为，正难则反嘛。
先看 \(P(A)\) 怎么做。简单想一下，也得考虑反面做。对于每个队，考虑拿 \(1\) 减去爆零的概率，就是这一个队至少A掉一个题的概率。然后由乘法原理，队之间的概率乘起来，就是同时满足的方案。
接下来看 \(P(A\cap \overline{B})\)。考虑 \(\overline{B}\) ：每个队A掉的题数都 \(\le k-1\)。由于还需要满足条件 \(A\)，所以相当于每个队A掉的题都在 \([1,k-1]\) 里面。
考虑这个咋做。此时熟练的选手脑子里已经有一个GF了。先枚举队，设 \(f(i)\) 表示这个队AC了 \(i\) 个题的方案数。那肯定是，在概率数组里选 \(i\) 个“AC的概率”乘起来，然后选 \(m-i\) 个 “不AC的概率” 乘起来。我们发现这很GF，直接GF
设当前这个队AC第 \(i\) 个题的概率是 \(p_i\)。那很明显 \(f\) 的OGF，设为 \(F\)，就是
最后得到当前这个队的答案就是 \(F[x^1...x^{k-1}]\)。每个队的答案乘起来就行了。
朴素的实现是 \(O(nm^2)\) 的。使用分治FFT可以做到 \(O(nm\log m)\)，这里略（毕竟是10级算法）
这题非常水，但是可以帮助理解概率的“考虑反面”思想，还有条件之间取交，取并的概率的计算。这些是很重要的基础知识，做完这个题之后也可以想一想。
CF601C Kleofáš and the n-thlon
（神秘名字，谁教教我咋念啊）
题目中，\(k\) 这个人在 \(i\) 比赛里面的排名被设为 \(x_i\)。但由于后面要用 \(x\) ，这里取名叫 \(p_i\)。
设 \(s_i\) 表示第 \(i\) 个人的总得分
我们要求 \(k\) 这个人的排名（定义为小于它的数量+1）的期望。
根据上面期望相关的式子，先转化一波。要求：
注意到对于某人的某次比赛，排第几名都是等概率的。又注意到除了 \(k\) 这个人之外的人，没有本质区别，都可以看做是同一个人，或者说，把两个人换一下完全不影响。感性理解叫 “都是外人”
根据线性性把这个式子拆开，然后根据人之间的等价性，每一项都是一样的。于是变为：
\(i\) 任意。我们后面就称它为“外人”，即，一个不是 \(k\) 的人。
对于 \(i\) 这个人，在第 \(j\) 场比赛里面，排 \(r\) 位的概率都是 \(\dfrac{1}{m-1}\)，但是 \(r\) 不能是 \(p_j\)。
那它在这一场比赛里，所有可能性构成的OGF就是 \(\sum\limits_{i=1}^{m}[i\neq r]\dfrac{1}{m-1} x^i\)
我们把每一场比赛的这个 OGF 卷一下，\(i\) 次方项就是它总得分为 \(i\) 的方案数。取它的 \([1,s_k)\) 次项和即可。
但是就算拿FFT卷，朴素的复杂度也是 \(O(n^2m\log(nm))\)，不太能过。拿分治FFT写似乎理论复杂度对了，毛估估应该是 \(O(nm\log (nm))\) 的。但是我觉得它应该会很难写，也不应该是标程。这题的这个范围似乎在提示我们，复杂度应该是 \(O(n^2m)\)
考虑这一堆GF，它们只有一个空缺，和全 \(1\) 的多项式非常像。
考虑差分。由于它是两段 \(1\) 组成，所以它的差分应该最多 \(4\) 个位置有值。而多项式这个系数取差分，其实就是卷上一个 \(1-x\)，性质非常好：满足交换律和结合律。也就是说，我们可以先取一堆差分，然后再卷，然后再前缀和做回来，做的顺序不影响。
那这样只有 \(4\) 个位置有值，就算是暴力的从 \(1\) 到 \(n\) 枚举，每次卷积的复杂度也只有 \(O(4nm)=O(nm)\)，总复杂度 \(O(n^2m)\)。虽然劣一些，但是好写
怎么只有这么点例题啊
会加上的会加上的qaq