笛卡尔乘积

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笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合X和Y的笛卡尓积（Cartesian product），又称直积，表示为X × Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员[1] 。

中文名: 笛卡尔乘积
外文名: Cartesian product
别称: 直积

表达式: A×B = {(x,y)|x∈A∧y∈B}
提出者: 笛卡尔
应用学科: 数学
适用领域范围: 运算

背景

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笛卡儿1596年3月31日生于法国土伦省莱耳市的一个贵族之家，笛卡儿的父亲是布列塔尼地方议会的议员，同时也是地方法院的法官,笛卡儿在豪华的生活中无忧无虑地度过了童年。

笛卡儿1612年到普瓦捷大学攻读法学，四年后获博士学位。1616年笛卡儿结束学业后，便背离家庭的职业传统，开始探索人生之路。他投笔从戎，想借机游历欧洲，开阔眼界。

在荷兰长达20多年的时间里，笛卡尔对哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域进行了深入的研究，并通过数学家梅森神父与欧洲主要学者保持密切联系。他的主要著作几乎都是在荷兰完成的[2] 。

1628年，笛卡尔写出《指导哲理之原则》，1634年完成了以哥白尼学说为基础的《论世界》。书中总结了他在哲学、数学和许多自然科学问题上的一些看法。1637年，笛卡儿用法文写成三篇论文《折光学》、《气象学》和《几何学》，并为此写了一篇序言《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》，哲学史上简称为《方法论》，6月8日在莱顿匿名出版。1641年出版了《形而上学的沉思》，1644年又出版了《哲学原理》等重要著作。

1649年冬，笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂安的邀请，来到了斯德哥尔摩，任宫廷哲学家，为瑞典女王授课。由于他身体孱弱，不能适应那里的气候，1650年初便患肺炎抱病不起，同年二月病逝。终年54岁。1799年法国大革命后，笛卡儿的骨灰被送到了法国历史博物馆[2] 。

定义

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笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合X和Y的笛卡尓积（Cartesian product），又称直积，表示为X×Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员[3] 。

假设集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。

类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。A表示所有声母的集合，B表示所有韵母的集合，那么A和B的笛卡尔积就为所有可能的汉字全拼。

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，记作AxB.

笛卡尔积的符号化为：

A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}

例如，A={a,b}, B={0,1,2}，则

A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}

B×A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

运算

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1.对任意集合A，根据定义有

AxΦ =Φ , Φ xA=Φ

2.一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即

AxB≠BxA（当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时）

3.笛卡尔积运算不满足结合律，即

(AxB)xC≠Ax(BxC)（当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时)

4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即

Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)

(B∪C)xA=(BxA)∪(CxA)

Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)

(B∩C)xA=(BxA)∩(CxA)

案例

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给出三个域：

D1=SUPERVISOR = { 张清玫，刘逸 }

D2=SPECIALITY= {计算机专业，信息专业}

D3=POSTGRADUATE = {李勇，刘晨，王敏}

则D1，D2，D3的笛卡尔积为D：

D=D1×D2×D3 ={(张清玫, 计算机专业, 李勇), (张清玫, 计算机专业, 刘晨),

(张清玫, 计算机专业, 王敏), (张清玫, 信息专业, 李勇),

(张清玫, 信息专业, 刘晨), (张清玫, 信息专业, 王敏),

(刘逸, 计算机专业, 李勇), (刘逸, 计算机专业, 刘晨),

(刘逸, 计算机专业, 王敏), (刘逸, 信息专业, 李勇),

(刘逸, 信息专业, 刘晨), (刘逸, 信息专业, 王敏)}

这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。

本个例子中的D中就会有2X2X3个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素[2] 。

代码

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C#源代码

using System;

using System.Collections;

using System.Collections.Generic;

using System.Text;

using System.Linq;

public class Descartes
{

public static void run(List<List<string>> dimvalue, List<string> result, int layer, string curstring)
{

if (layer < dimvalue.Count - 1)
{

if (dimvalue[layer].Count == 0)
run(dimvalue, result, layer + 1, curstring);
else
{

for (int i = 0; i < dimvalue[layer].Count; i++)
{

StringBuilder s1 = new StringBuilder();
s1.Append(curstring);
s1.Append(dimvalue[layer][i]);
run(dimvalue, result, layer + 1, s1.ToString());
}
}
}

else if (layer == dimvalue.Count - 1)
{

if (dimvalue[layer].Count == 0) result.Add(curstring);
else
{

for (int i = 0; i < dimvalue[layer].Count; i++)
{
result.Add(curstring + dimvalue[layer][i]);
}
}
}
}
}

使用说明

（1）将每个维度的集合的元素视为List<string>,多个集合构成List<List<string>> dimvalue作为输入

（2）将多维笛卡尔乘积的结果放到List<string> result之中作为输出

（3）int layer, string curstring只是两个中间过程的参数携带变量

（4）程序采用递归调用，起始调用示例如下：

List<string> result = new List<string>();

Descartes.run(dimvalue, result, 0, "");

即可获得多维笛卡尔乘积的结果[2] 。

JAVA源代码

import java.util.ArrayList;

import java.util.List;
//import com.alibaba.fastjson.JSON;

public class DescartesUtil {

    public static void main(String[] args) {

        List<List<String>> list = new ArrayList<List<String>>();

        List<String> listSub1 = new ArrayList<String>();

        List<String> listSub2 = new ArrayList<String>();

        List<String> listSub3 = new ArrayList<String>();

        List<String> listSub4 = new ArrayList<String>();

        listSub1.add("1");

        listSub1.add("2");

        listSub2.add("3");

        listSub2.add("4");

        listSub3.add("a");

        listSub3.add("b");

        listSub4.add("c");

        listSub4.add("d");

        list.add(listSub1);

        list.add(listSub2);

        list.add(listSub3);

        list.add(listSub4);

        List<List<String>> result = new ArrayList<List<String>>();

        descartes(list, result, 0, new ArrayList<String>());

        // System.out.println(JSON.toJSONString(result));

    }

    /**

     * Created on 2014年4月27日

     * <p>

     * Discription:笛卡尔乘积算法

     * 把一个List{[1,2],[3,4],[a,b]}转化成List{[1,3,a],[1,3,b],[1,4

     * ,a],[1,4,b],[2,3,a],[2,3,b],[2,4,a],[2,4,b]}数组输出

     * </p>

     * 

     * @param dimvalue原List

     * @param result通过乘积转化后的数组

     * @param layer

     *            中间参数

     * @param curList

     *            中间参数

     */

    private static void descartes(List<List<String>> dimvalue,

            List<List<String>> result, int layer, List<String> curList) {

        if (layer < dimvalue.size() - 1) {

            if (dimvalue.get(layer).size() == 0) {

                DescartesUtil.descartes(dimvalue, result, layer + 1, curList);

            } else {

                for (int i = 0; i < dimvalue.get(layer).size(); i++) {

                    List<String> list = new ArrayList<String>(curList);

                    list.add(dimvalue.get(layer).get(i));

                    DescartesUtil.descartes(dimvalue, result, layer + 1, list);

                }

            }

        } else if (layer == dimvalue.size() - 1) {

            if (dimvalue.get(layer).size() == 0) {

                result.add(curList);

            } else {

                for (int i = 0; i < dimvalue.get(layer).size(); i++) {

                    List<String> list = new ArrayList<String>(curList);

                    list.add(dimvalue.get(layer).get(i));

                    result.add(list);

                }

            }

        }

    }
}

python源代码

from itertools import product

for x,y,z in product([\'a\',\'b\',\'c\'],[\'d\',\'e\',\'f\'],[\'m\',\'n\']):

    # python大法好

    print(x,y,z)

参考资料

1. 黄宏图,毕笃彦,查宇飞,高山,覃兵. 基于笛卡尔乘积字典的稀疏编码跟踪算法[J]. 电子与信息学报,2015,37(03):516-521. [2017-08-26].
2. JAVA笛卡尔(descartes)乘积运算结果的输出．PHP爱好者．2014-05-07[引用日期2015-03-26]
3. 黄海圆. 笛卡尔乘积图的配对控制数[D].浙江师范大学,2015.