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[PDE]Exercise 0001 Let solve the following initial-value problem

Show that has the representation . Here, is defined through the Fourier transform by . Solution

[PDE]Exercise 0002 Suppose that the function is radial, that is, for any with , we have . Show that the Fourier transform is also radial. Solution

[PDE]Exercise 0003 Let be Banach spaces, be a linear map. is said to be bounded, if , such that . Show that is bounded iff (if and only if) for any bounded subset , is a bounded subset of . Solution

[PDE]Exercise 0004 (1) Give the definition of the semi-norm and , where , . (2) Show that and are equivalent. Solution

[PDE]Exercise 0005 Let be in , and is radial (for definition, see Problem 2). Show that

Solution

[PDE]Exercise 0006 Let be smooth vector field. Show that . Solution

[PDE]Exercise 0007 Show the Bony decomposition

where

Solution

[PDE]Exercise 0008 For any positive , we have

Solution

[PDE]Exercise 0009 If is a smooth homogeneous function of degree , show that

where

is the Hardy-Littlewood maximal function. Solution

[PDE]Exercise 0010 (1) Narrate the resonance theorem. (2) Let be a Banach space, and denote by be all the maps

such that for any functional , the function is continuous. Utilize (1) to show . Solution

[PDE]Exercise 0011 Consider the three-dimensional Navier-Stokes equations

Let . Then by the Leray\'s famous work, there exists at least one weak solution of (1). Suppose that and

Show that is a strong solution, i.e., . This is the classical Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin condition. Solution

[PDE]Exercise 0012 (1)、 As is well-known, the volumes of -dimensional unit ball are respectively. Then what is the volume of -dimensional unit ball

Provide the calculations. (2)、 Denote by the area of the -dimensional unit sphere

What is the relationship between and ? Solution

[PDE]Exercise 0013 (1)、 Let . Provide the definition of the convexity of . (2)、 As is well-known, a convex function has a supporting hyperplane at each point ; that is,

Now, let , , . Describe the set of all such satisfying (*). (3)、 Prove the Jensen inequality. Assume is convex and is open, bounded. Let be summable. Then

Solution

[PDE]Exercise 0014 (1)、 State the Young inequality. Let . Then

(2)、 Let satisfy

Use the Young inequality to show that

Solution

[PDE]Exercise 0015 (1)、 State the H"older inequality. Assume that

Then if , we have

(2)、 Assume and . Use the H"older inequality to show the following Minkowski inequality

Solution

[PDE]Exercise 0016 Let be a nonnegative, absolutely continuous function on , which satisfies for the differential inequality

where and are nonnegative, summable functions on . Then

for all . Solution

[PDE]Exercise 0017 Let be a nonnegative, absolutely continuous function on , which satisfies for the integral inequality

where and are nonnegative, summable functions on . Show that

Solution

[PDE]Exercise 0018 (1)、 State the Gauss-Green Theorem. Suppose . Then

(2)、 Use (1) to prove the following integration by parts formula. Let . Then

Solution

[PDE]Exercise 0019 (1)、 State the divergence theorem.

for each vector field . (2)、 Use the divergence theorem to show the Green\'s formula. Let . Then

Solution

[PDE]Exercise 0020 (1)、 Let be the standard mollifier. Then for locally integrable function , its mollification is

(2)、 If , then . Solution

[PDE]Exercise 0021 (1)、 Let be the standard mollifier. Then for locally integrable function , its mollification is

(2)、 If and , then in . Solution

[PDE]Exercise 0022 A mapping is called a norm if (1)、 for all , (2)、 for all , (3)、 iff (if and only if) . Solution

[PDE]Exercise 0023 A mapping is called an inner product if (1)、 for all , (2)、 the mapping is for each , (3)、 for all , (4)、 iff . Solution

[PDE]Exercise 0024 (1)、 Let be a Banach space. We say a sequence converges weakly to , written

if

for each bounded linear function . (2)、 Show that

Solution

[PDE]Exercise 0025 (1)、 A set is weakly closed if

(2)、 Assume is weakly closed. Show that is closed. Solution

[PDE]Exercise 0026 Let denote an open subset of , with a smooth boundary . Suppose , . Prove is a Banach space. Solution

[PDE]Exercise 0027 Let denote an open subset of , with a smooth boundary . Assume . Prove the interpolation inequality

Solution

[PDE]Exercise 0028 Let be open sets, with . Show there exists a smooth function such that on , near . Solution

[PDE]Exercise 0029 Assume is bounded and . Show there exist functions such that

The functions form a partition of unity. Solution

[PDE]Exercise 0030 Integrate by parts to prove

for and . Solution

[PDE]Exercise 0031 Prove

for and all . Solution

[PDE]Exercise 0032 Suppose is connected and satisfies

Prove that is constant in . Solution

[PDE]Exercise 0033 Show by example that if we have

for all , it does not necessarily follows that . Solution

[PDE]Exercise 0034 Show that

Solution

[PDE]Exercise 0035 Show that for each there exists a constant so that

for each . Solution

[PDE]Exercise 0036 Use the Fourier transform to prove that if for , then , with the bound

for a constant depending only on and . Solution

[PDE]Exercise 0037 Show that if for , then and

the constant depending only on and . Solution

[PDE]Exercise 0038 Let be a particle-trajectory mapping of a smooth velocity field . Then

Solution

[PDE]Exercise 0039 For smooth flows, the following three conditions are equivalent: (1)、 a flow is incompressible, i.e.,

(2)、 ; (3)、 . Solution

[PDE]Exercise 0040 (choice) For the following three and , generalize a jet flow. A. B. C. D. Solution

[PDE]Exercise 0041 (choice) For the following three and , generalize a strain flow. A. B. C. D. Solution

[PDE]Exercise 0042 (choice) For the following three and , generalize a vortex. A. B. C. D. Solution

[PDE]Exercise 0043 (choice) For the following three and , generalize a rotating jet. A. B. C. D. Solution

[PDE]Exercise 0044 (Filling-in-blanks) In the voriticity equation

is called the term, is called the term. Solution

[PDE]Exercise 0045 (Filling-in-blanks) In the voriticity equation

is called the term, and is the main obstacle for the global regularity problem of the Navier-Stokes equations. Solution

[PDE]Exercise 0046 (Filling-in-blanks) Let solve

Taking , then the governing equation of is . Solution

[PDE]Exercise 0047 (Filling-in-blanks) Let solve

Taking , then the governing equation of is . Solution

[PDE]Exercise 0048 Let be any smooth velocity field (not necessarily divergence free), with the associated particle-trajectory mapping satisfying

Let be a smooth vector field. Show that

Solution

[PDE]Exercise 0049 Let be a smooth, oriented, closed curve and let be a smooth particle trajectory corresponding to a smooth velocity field . Show that

Solution

[PDE]Exercise 0050 Let be a divergence-free vector field on with sufficient decay at , and . Show that

Solution

[PDE]Exercise 0051 Let be a smooth, divergence-free vector field on and let be a smooth scalar such that

Show that and are orthogonal:

Solution

[PDE]Exercise 0052 (Filling-in-blanks) Let be smooth function on , vanishing sufficiently rapidly as . Then the solution to the Poission equation

with vanishing as , is given by

where (1)、 , (2)、 , where is the surface area of a unit sphere in . Solution

[PDE]Exercise 0053 (Filling-in-blanks) Let , and consider the Poisson equation on the torus ,

The there exists a solution iff

Moreover, Fourier transform methods give the explicit solution as

Solution

[PDE]Exercise Collection 0001-0012 Solution

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"160823[数学分析:微分] 证明恒等式

Solution

2020年全国硕士研究生招生考试考生进入复试的初试成绩基本要求(国家分数线) Solution

245道2020年数学分析/91道2020年高等代数考研试题题目分类目录 Solution

260521实变函数:绝对连续和有界变差综合题. 设 张祖锦(1)、 在 上连续; 张祖锦(2)、 , 在 上绝对连续; 张祖锦(3)、 在 上有界变差. 试证: 在 上绝对连续. Solution

260727实变函数: 依测度收敛的积分刻画 设 是有限测度空间. 再设 是严格递增的有界连续函数, 且 . 对任一可测函数 , 定义

试证: 当且仅当 . Solution

260728实变函数: 有限 Borel 测度相等的积分刻画 设 是度量空间, 其上的 Borel -代数为 . 再设 是 上的两个有限 Borel 测度, 满足

对所有有界连续函数 都成立. 试证: . Solution

260912实变函数:绝对连续函数一定是利普西斯函数 设 满足

试证: 是 Lipschitz 的, 即

Solution

261029[科研] Let

satisfy

with . Show that

朋友问的, 你会么? Solution

261031[常微分方程]不求解, 定性研究 设 , 分别是方程 的满足初值条件 , ; , 的解. 不求解, 证明: 张祖锦(1)、 , ; 张祖锦(2)、 ; 张祖锦(3)、 有零点. Solution

261101[常微分方程] 最大存在时间 设 是初值问题

的解, 其中 . 试证: 的最大存在时间是 . Solution

261102[高等代数:欧氏空间][南京大学2009年高等代数考研试题第7题参考解答]欧氏空间中两向量成锐角的一个充要条件 设 , 是 维欧氏空间 中的两个非零列向量, 则 的充分必要条件是存在正定矩阵 使得 . Solution

261103[高等代数:欧氏空间][重庆大学2011年高等代数考研试题题5]两线性变换的像欧氏同构的一个充分条件 设 与 是 维欧氏空间 上的两个线性变换. 若对任意的 , 有 , 则 和 作为欧氏空间是同构的. Solution

261104[数学分析:定积分]有界还是爆破 Suppose , and satisfies

Prove: 张祖锦(1)、 is bounded on 张祖锦(2)、 This is in stark contrast to the estimates like:

which allows blowup of in finite time. Show that such blowup can happen for . Solution

261105[泛函分析]Banach不动点定理的应用 试证: 在 上存在惟一一个连续函数 适合

Solution

261106[常微分方程]极限环 Consider the equation

Verity that is a periodic solution. Then use the (energy) functional

to prove that all solutions (except ) will converge to this periodic solution, which is therefore a limit cycle. Solution

261107[数学分析:连续]实数集到非负实数集的双射有无穷多个间断点 设 是双射, 证明: 有无穷多个间断点. Solution

261110[高等代数:矩阵]两正交矩阵行列式相等的一个充要条件 设 是 阶实正交阵. 证明: 是偶数当且仅当 . Solution

261111[高等代数:矩阵]任何复矩阵相似于由可逆阵与幂零阵组成的准对角阵 设 为 阶复矩阵. 证明: 相似于 , 其中 为可逆阵, 为幂零阵. Solution

261112[高等代数:线性空间与线性变换]矩阵空间是上三角与反对称矩阵空间的直和 设 是数域 上 阶矩阵全体构成的线性空间, 分别是上三角矩阵、反对称矩阵全体构成的线性子空间, 则

Solution

261113[泛函分析]刘炳初泛函分析第二版习题1题15 设 是完备距离空间, 是 上的实连续函数族且具有性质: 对于每一 , 存在常数 , 使得对于每一 ,

证明: 存在开集 及常数 , 使得对于每一 及所有 ,

Solution

261114[泛函分析]刘炳初泛函分析第二版习题1题19 设 , 在 的领域 中连续, , 在 中存在且在 连续并且 . 用压缩映射原理证明: 存在 , , 使得 , , . Solution

261115[泛函分析]刘炳初泛函分析第二版习题3题28参考解答 设 是 Banach 空间 上的紧算子列且强收敛于线性算子 , 试举例说明 未必是紧算子. Solution

261116[泛函分析]刘炳初泛函分析第二版习题4题9参考解答 设 是 Hilbert 空间 的线性子空间. 是 上的有界线性算子. 证明在 上存在一个有界线性算子 , 使得在 上 与 相等并且 . Solution

261117[泛函分析]刘炳初泛函分析第二版习题3题25参考解答 设 是 Banach 空间, , 记

证明: 张祖锦(1)、 ; 张祖锦(2)、 当 自反时, . Solution

261118[泛函分析]刘炳初泛函分析第二版习题3题26[平均遍历定理]参考解答 (平均遍历定理). 设 是自反 Banach 空间, 并且存在常数 , 使得 , 令

证明: 张祖锦(1)、 在 上强收敛于一个线性算子 , 且 . 张祖锦(2)、 , 从而 在 上强收敛于 . Solution

261119[泛函分析]刘炳初泛函分析第二版习题3题24[级数的广义求和问题]参考解答 (级数的广义求和问题). 设有数项级数

及 是其部分和序列, 给定无穷矩阵

设 且假定其右边的所有级数都收敛, 如果 时 有极限, 称级数 (1) 关于矩阵 (2) 可广义求和, 并且称 为级数 (1) 的广义和. 证明由矩阵 (2) 给出的广义求和法, 对于每一个按照通常意义下收敛的级数 (1) 也按由矩阵 (2) 决定的广义求和法可求和, 并且广义和等于通常意义下的和, 当且仅当, 下列三个条件成立: 张祖锦(1)、 ; 张祖锦(2)、 ; 张祖锦(3)、 . Solution

261206[数学分析:重积分]利用正交变换和对称性求解三重积分 求

其中 是区域 . Solution

261207[高等代数:矩阵]对合矩阵的两个性质 设 阶矩阵 满足 . 证明: 张祖锦(1)、 相似于形如 的矩阵; 张祖锦(2)、 对于任何正整数 , 都有

Solution

261208[高等代数:线性空间与线性变换]多项式互素与空间直和 设 为数域 上的多项式, 且有 , 是 上的一方阵. 再设 , , 的解空间分别为 , 和 . 证明:

Solution

270102[数学分析:积分法与不等式] Let be a continuous function from into . Prove that

Solution

270109[数学分析:积分法与不等式] Let be a continuous, nonnegative function on . Show that

Solution

270110[数学分析:积分与极限] Let be a continuous function. Calculate

Solution

270111[初等数学] Let be positive real numbers such that . Prove that

Solution

270112[数学分析:积分法与不等式] Show that if is convex and function such that , then

Solution

270113[高等代数:矩阵]关于幂等矩阵的和的一个定理 设 是 阶矩阵且 , , 且

证明: (1). , ; (2). , . Solution

270114[数学分析:广义积分]与正弦对数有关的一个积分不等式 试证:

Solution

270115[数学分析:积分不等式] For a continuous and nonnegative function on , let

Show that

Solution

270116[数学分析:定积分] 试求

Solution

270117[数学分析:积分法与不等式] Let be a continuous, nonnegative function on . Show that

Solution

270118[高等代数:行列式] 设 是 阶实反对称矩阵, 是对角元均大于零的实对角矩阵. 试证: . Solution

270119[科研]Hardy type inequalities If , , and

then

If , , and

then

If , , , and

then

Solution

270120[数学分析:数列极限] 求极限

Solution

270121[数学分析:积分法与不等式] 设 在 上连续可微且 . 试证:

Solution

270122[实变函数] 张祖锦(1)、 Define what it means for a set to have zero content. 张祖锦(2)、 Prove the following result: Let be bounded and integrable. Show that its graph

has zero content. Solution

270123[数学分析:积分法与不等式] 设 是 上的非负可积函数, 试证:

Solution

270124[数学分析:微分法与不等式] 设 为正整数, , . 试证:

Solution

270129[数学分析:积分与极限] (云南大学). 已知

试证:

Solution

270211[科研] 接着上次: 261029科研 设

再设

则

Solution

270212[高等代数:矩阵]设 是互不相同的实数, 阶矩阵 满足 . 证明: 正定. Solution

270227[数学分析:微分]用 Taylor 定理证明二项式定理 Solution

270420[实变函数]设 为 上的非负函数, 且对任意 , 集合 是有限集. (1)、 证明: 对任意实数 , , 存在 使得 . (2)、 证明: 若 , 则 在点 连续. Solution

270423[数学分析:重积分] 计算

Solution

270424[数学分析:微分] 分析函数 是否在 的某邻域单调? Solution

270425[复变函数]解析函数实部虚部有什么良好性质 Solution

270426[实变函数] 设在 的可测子集 上, 可测函数列 几乎处处收敛于 , 且依测度收敛于 , 试证: 于 . Solution

270427[数学分析: 级数] 级数的收敛与在 Cesaro 意义下收敛 对于级数 而言, 设其部分和数列为

若 收敛, 则称级数 收敛, 其和为 . 令

若 收敛, 则称 在 Cesaro 意义下收敛, 其 Cesaro 和为 . 由 Cauchy 命题知 收敛蕴含 在 Cesaro 意义下收敛, 且两个和相等. 反之不成立. 但如果 , 则两个收敛是等价的. 具体见数学分析习题课讲义下册第 39 页. Solution

270428[科研]文章查重居然要百分之二以下 Solution

270429[数学分析:重积分] 设 , 求 . Solution

270501[数学分析:数列极限] 设 , 其中 表示 的小数部分. 试求 . Solution

270502[数学分析:函数] 设 , , 求 . Solution

270503[数学分析:函数] 已知 满足等式 , 求 的表达式. Solution

270504[数学分析:数列极限] 设 , 求 的显式表达式. Solution

270505[数学分析:函数] 设函数 是奇函数, , 其中 . 证明: 是偶函数. Solution

270506[数学分析:函数] 设对一切实数 , 有 证明 是周期函数. Solution

270507[数学分析:函数] 函数 在 上满足等式 , , 且 , 试问:方程 在区间 上至少有多少个根. Solution

270508[数学分析:函数] 设 在 上满足 (其中 和 是正常数), 证明 可表示为 , 式中 , 是以 为周期的周期函数. Solution

270509[数学分析:函数] 若对任意 , 有 , 求证对任意正整数 , 任意 , 有

Solution

270511[生活]为师八年载 Solution

270512[数学分析:函数极限] ((中国海洋大学2020数分)) . Solution

270513[数学分析:多元函数极限与连续] ((中国海洋大学2020数分)) . Solution

270514[数学分析:连续] ((中国海洋大学2020数分)) 若函数 在 上连续, 且对 , 都有 , 则 , 有 . Solution

270515[数学分析:微分] ((中国海洋大学2020数分)) 若函数 可导, 则其导函数 不存在第二类间断点. Solution

270516[数学分析:级数] ((中国海洋大学2020数分)) 若级数 收敛, 且 , 则 收敛. Solution

270517[数学分析:微分] ((中国海洋大学2020数分)) 设函数 在 内可导, 且

证明: 在 内至少存在一点 , 使得 . Solution

270518[数学分析:实数理论] ((中国海洋大学2020数分)) 若 是非空有上界的实数集. 设 , 且 . 证明: 存在数列 , 使得 , 且 . Solution

270519[数学分析:含参量积分] 中国海洋大学2020数分 设 . 证明: (1)、 满足微分方程 ; (2)、 . Solution

270520[数学分析:多元函数微分学] ((中国海洋大学2020数分)) 设函数

回答下列问题: (1) 函数 在点 处是否连续? 为什么? (2) 函数 在点 处是否可微? 为什么? Solution

270521[数学分析:积分与极限] ((中国海洋大学2020数分)) 若函数列 满足下列条件: \bnn \item 在 上非负连续, 且 ; \item 在 与 上一致收敛于 . \enn 证明: 对 上的任意连续函数 , 有

Solution

270522[数学分析:级数] ((中国海洋大学2020数分)) 设 是正的单调递增数列, 证明: 级数 收敛的充分必要条件是数列 有界. Solution

270523[数学分析:定积分] ((中国海洋大学2020数分)) 计算封闭曲面 () 所围立体的体积. Solution

270524[科研] 的化简 Solution

270525[高等代数: 矩阵] 举例说明初等方阵和初等变换的关系 Solution

270526[数学分析:级数] 对任一通项为正的发散级数 , 必存在发散正项级数 , 满足: . Solution

270527[科研]修改Corrections Solution

270528[数学分析:函数极限] 设 都是当 时的等价无穷小量. 试问: 当函数 满足什么条件时, 也是当 的等价无穷小量. Solution

270529[科研] 的化简. Solution

270530[科研] 的化简. Solution

270531[科研] 的化简 Solution

270601[实变函数] 数学上 infinitely many 和 countable 什么关系 Solution

270602[科研] Testing by . Solution

270604[数学分析:Fourier级数] 设 在 上可导, 在 上可积, 在 上的 Fourier 级数为

证明: . Solution

"270605[实变函数] 设 是 上的连续函数. 证明:

可测.

可测. Solution

270606[科研] the Ginzburg-Landau model for superconductivity Solution

270607[数学分析:微分] 270607[数学分析:微分] 设 是可微函数, 存在实数 ( ) 满足

张祖锦(1)、 举一个简单例子满足题目条件. 张祖锦(2)、 证明: 存在 , 使得

Solution

270611[数学分析:定积分] 求证: . Solution

270612[数学分析:数项级数] 收敛能否推出 收敛. Solution

270612[数学分析:数项级数] 收敛能否推出 收敛. Solution

270614[常微分方程] 若方程组

则 . Solution

270615[数学分析:连续] 若 在 上连续且有界, 又对任意 , 至多只有有限个零点, 则 存在. Solution

Berkeley 常微分方程问题集1一阶方程23个习题参考解答 Solution

Berkeley 常微分方程问题集2二阶方程13个习题参考解答 Solution

Berkeley 常微分方程问题集3高阶方程5个习题参考解答 Solution

Berkeley 常微分方程问题集4微分方程组18个习题参考解答 Solution

Berkeley 常微分方程问题集目录 Solution

Evans PDE 第一版第1~3章学习笔记及问题解答 Solution

Evans PDE1.5习题参考解答 Solution

Evans PDE2.5习题参考解答 Solution

Evans PDE目录 Solution

Evans偏微分方程第5章及附录笔记/问题解答/视频讲解 Solution

Majda01-01 Solution

Majda01-02 Solution

Majda01-03-1 Solution

Majda01-03-2 Solution

Majda01-04-1 Solution

Majda01-04-2 Solution

Majda01-04-3 Solution

Majda01-05 Solution

Majda01-06 Solution

Majda1.1 The Euler and the Navier-Stokes equations Solution

Majda1.2 Symmetry groups for the Euler and the Navier-Stokes equations Solution

Majda1.2-1 Solution

Majda1.2-2 Solution

Majda1.3 Particle trajectories Solution

Majda1.3-1 Solution

Majda1.3-2 Solution

Majda1.3-3 Solution

Majda1.4 The vorticity, a deformation matrix, and some elementary exact solutions Solution

Majda1.5 Simple exact solutions with convection, vortex streching, and diffusion Solution

Majda1.6 Some remarkable properties of the vorticity in the ideal fluid flows Solution

Majda1.7 Conserved quantities in ideal and viscous fluid flows Solution

Majda1.7-1 Solution

Majda1.7-2 Solution

Majda1.7-3 Solution

Majda1.7-4 Solution

Majda1.7-5 Solution

Majda1.8 Leray\'s formulation of incompressible flows and Hodge\'s decomposition of vector fields Solution

Majda1.8-1 Solution

Majda1.8-2 Solution

Majda1.8-3 Solution

Majda1.8-4 Solution

Majda1.9 Appendix Solution

Majda1.9-1 Solution

Majda1.9-2 Solution

Majda1.9-3 Solution

Majda2.1 Solution

Majda2.1 The vorticity-stream formulation for 2D flows Solution

Majda2.2 A general method for constructing exact steady solutions to the 2D Euler equations-1 Solution

Majda2.2-1 Solution

Majda2.2-2 Solution

Majda2.2-3 Solution

Majda2.2-4 Solution

Majda2.2-5 Solution

Majda2.2-6 Solution

Majda2.2-7 Solution

sb001 Solution

sb002 Solution

sb003 Solution

sb004 Solution

sb005 Solution

sb006 Solution

sb007 Solution

sb008 Solution

sb009 Solution

sb010 Solution

sb011 Solution

sb012 Solution

sb013 Solution

sb014 Solution

sb015 Solution

sb016 Solution

sb017 Solution

sb018 Solution

sh00.1自我介绍 Introduction Solution

sh00.2回忆 Riemann 积分-数学分析 Solution

sh00.3构造 Lebesgue 积分-实变函数 Solution

sh00.4学习实变函数与泛函分析的重要意义 Solution

sh00.5实变函数与泛函分析的考核标准与学习方法 Solution

sh01.1集合的表示 Solution

sh01.2.1集族 Solution

sh01.2.2并集 (union) Solution

sh01.2.3交集 (intersection) Solution

sh01.2.4交并运算律、De Morgan 律及其他 Solution

sh01.2.5数学语言的集合表示 Solution

sh01.2.6上、下极限集 Solution

sh01.2.7单调集列 Solution

sh01.2.8集合的直积 (Cartesian product) Solution

sh01.3.1对等的定义 Solution

sh01.3.2对等的例子 Solution

sh01.3.3对等的性质 Solution

sh01.3.4基数的比较 Solution

sh01.4.1定义与初步例子 Solution

sh01.4.2可数集的性质 Solution

sh01.4.3进一步的例子 Solution

sh01.5.1定义与例子 Solution

sh01.5.2连续基数的性质 Solution

sh01.5.3无最大基数定理 Solution

sh01.6本章小结 Solution

sh02.1.1度量空间的定义与例子 Solution

sh02.1.2邻域、极限及其它 Solution

sh02.2.01点与集的第一类关系: 内点, 外点, 聚点 Solution

sh02.2.02点与集的第二类关系: 聚点, 孤立点和外点 Solution

sh02.2.03聚点的等价刻画 Solution

sh02.2.04边界点要么是聚点, 要么是孤立点 Solution

sh02.2.05闭包的等价刻画 Solution

sh02.2.06边界与闭包的关系 Solution

sh02.2.07闭包、开核的对偶关系 Solution

sh02.2.08开核, 导集, 闭包保持集合的包含关系 Solution

sh02.2.09导集与并运算可交换 Solution

sh02.2.10导集, 边界不空的充分条件 Solution

sh02.3.2闭集及其性质 Solution

sh02.3.3开集、闭集的对偶性 Solution

sh02.3.4紧集、自密集、完备集 Solution

sh02.4.1直线上的开集、闭集的构造 Solution

sh02.4.2直线上完备集的构造 Solution

sh02.5.1Cantor 三分集的构造 Solution

sh02.5.2Cantor 三分集的性质 Solution

sh02.5.3维数观点看 Cantor 集 Solution

sh02.6本章小结 Solution

sh03.0引言 Solution

sh03.1外测度 (outer measure) Solution

sh03.2.1可测集的等价定义 Solution

sh03.2.2可测集的性质1: 可测集的补, 可测集列的交与并 Solution

sh03.2.3可测集的性质2: 可测集列的极限 Solution

sh03.3.1可测集的例子 Solution

sh03.3.2可测集的构造 Solution

sh03.3.3测度的内、外正规性 Solution

sh03.4本章小结 Solution

sh04.0引言 Solution

sh04.1.1记号 (notations) Solution

sh04.1.2可测函数的定义及等价刻画 Solution

sh04.1.3重要的可测函数类 I--连续函数类 Solution

sh04.1.4重要的可测函数类 II---简单函数类 Solution

sh04.1.5可测函数的四则运算 Solution

sh04.1.6可测函数的极限运算 Solution

sh04.1.7可测函数与简单函数的关系 Solution

sh04.1.8几乎处处成立的内涵 Solution

sh04.2.1引言 Solution

sh04.2.2Egrov 定理 Solution

sh04.2.3Egrov 定理的推广 Solution

sh04.3.1Lusin 定理 Solution

sh04.3.2Lusin 定理的另一形式 Solution

sh04.3.3可测集与可测函数的总结 Solution

sh04.4.1依测度收敛的定义 Solution

sh04.4.2依测度收敛不能蕴含几乎处处收敛 Solution

sh04.4.3几乎处处收敛不能蕴含依测度收敛 Solution

sh04.4.4Riesz 定理 (依测度收敛函数列有一个子列几乎处处收敛) Solution

sh04.4.5Lebesgue 定理 (测度有限时, 几乎处处收敛蕴含依测度收敛) Solution

Zujin Zhang\'s Publications (up to 2020/05/20) Solution

安徽大学2008年高等代数考研试题参考解答 Solution

北京大学1996年数学分析考研试题参考解答 Solution

北京大学1997年数学分析考研试题参考解答 Solution

北京大学1998年数学分析考研试题参考解答 Solution

北京大学2014年数学分析考研参考试题参考解答 Solution

北京大学2015年数学分析考研试题参考解答 Solution

北京大学2016年高等代数与解析几何考研试题参考解答 Solution

北京大学2016年数学分析考研试题参考解答 Solution

北京大学2018-2019-1年数学分析期中试题(第1套)参考解答 Solution

北京大学2020年高等代数考研试题参考解答 Solution

北京大学2020年数学分析考研试题参考解答 Solution

北京师范大学2006年数学分析与高等代数考研试题参考解答 Solution

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程其襄张奠宙魏国强胡善文王漱石编实变函数与泛函分析基础(第三版)习题参考解答2点集 Solution

程其襄张奠宙魏国强胡善文王漱石编实变函数与泛函分析基础(第三版)习题参考解答3测度论 Solution

程其襄张奠宙魏国强胡善文王漱石编实变函数与泛函分析基础(第三版)习题参考解答4可测函数 Solution

程其襄张奠宙魏国强胡善文王漱石编实变函数与泛函分析基础(第三版)习题参考解答5积分论第1部分1-17 Solution

程其襄张奠宙魏国强胡善文王漱石编实变函数与泛函分析基础(第三版)习题参考解答5积分论第2部分18-35 Solution

程其襄张奠宙魏国强胡善文王漱石编实变函数与泛函分析基础(第三版)习题参考解答6微分与不定积分 Solution

答疑001:The Navier-Stokes equations Solution

答疑002:Global weak solution Solution

答疑003:Cylindrical coordinate system Solution

答疑004:Axisymmetric solution to the Navier-Stokes equations Solution

答疑005:The convective term under cylindrical coordinate Solution

答疑006:The Laplacian in cylindrical coordinate Solution

答疑007:The divergence in cylindrical coordinate system Solution

答疑008:The Navier-Stokes system (NSE) in cylindrical coordinate Solution

答疑009:Test the material derivative Solution

大连理工大学2020年数学分析考研试题参考解答 Solution

大学生数学竞赛模拟试卷01之数学分析篇 Solution

大学生数学竞赛模拟试卷02之数学分析篇 Solution

大学生数学竞赛模拟试卷03之数学分析篇 Solution

大学生数学竞赛模拟试卷04之数学分析篇 Solution

大学生数学竞赛模拟试卷05之数学分析篇 Solution

大学生数学竞赛模拟试卷06之高等代数篇 Solution

大学生数学竞赛模拟试卷07之高等代数篇 Solution

大学生数学竞赛模拟试卷08之高等代数篇 Solution

大学生数学竞赛模拟试卷09之高等代数篇 Solution

大学生数学竞赛模拟试卷10之高等代数篇 Solution

大学生数学竞赛模拟试卷11之定积分专题 Solution

大学生数学竞赛模拟试卷12之反常积分专题 Solution

大学生数学竞赛模拟试卷13之数学分析专题[无答案] Solution

大学生数学竞赛模拟试卷14之高等代数专题[无答案] Solution

大学生数学竞赛模拟试卷15之数学分析高等代数专题[无答案] Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限01 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限02 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限03 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限04 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限05 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限06 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限07 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限08 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限09 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限10 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限11 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限12 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限13 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限14 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限15 Solution

大学生数学考研竞赛专题之极限16 Solution

大学生数学考研竞赛专题之连续01 Solution

大学生数学考研竞赛专题之连续02 Solution

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大学生数学考研竞赛专题之连续04 Solution

大学生数学考研竞赛专题之连续05 Solution

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大学生数学考研竞赛专题之连续07 Solution

大学生数学考研竞赛专题之连续08 Solution

大学生数学考研竞赛专题之连续09 Solution

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大学生数学考研竞赛专题之连续12 Solution

大学生数学考研竞赛专题之连续13 Solution

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大学生数学考研竞赛专题之连续16 Solution

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大学生数学考研竞赛专题之连续18 Solution

大学生数学考研竞赛专题之连续19 Solution

大学生数学考研竞赛专题之连续20 Solution

点集拓扑课件/作业/作业讲解目录 Solution

丁同仁常微分方程第一版01.1微分方程及其解的定义习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版01.2微分方程及其解的几何解释习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版02.1恰当方程习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版02.2变量分离的方程习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版02.3一阶线性方程习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版02.4初等变换法习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版02.5积分因子法习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版02.6应用举例习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版03.1Picard 存在和唯一性定理习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版03.2Peano 存在性定理习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版03.3解的延拓习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版03.4比较定理及其应用习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版04.1一阶隐式微分方程习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版04.2奇解习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版04.3包络习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版05.1几个例子习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版05.2n维线性空间的微分方程习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版05.3解对初值和参数的连续依赖性习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版05.4解对初值和参数的连续可微性习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版06.1一般理论习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版06.2常系数线性微分方程组习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版06.3高阶线性微分方程习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版06.4算子法和 Laplace 变换法简介习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版07.1Cauchy 定理习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版07.2幂级数解法习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版07.3Legendre 多项式习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版07.4广义幂级数解法习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版07.5Bessel 函数习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版08.2解的稳定性习题参考解答 Solution

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丁同仁常微分方程第一版09.1Sturm 比较定理习题参考解答 Solution

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丁同仁常微分方程第一版09.4一个非齐次边值问题的例子习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版09.5周期边值问题习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版10.2首次积分的性质习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版10.4大范围的首次积分习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版11.1一阶齐次线性偏微分方程习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版11.2一阶拟线性偏微分方程习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版11.3几何解释习题参考解答 Solution

丁同仁常微分方程第一版习题参考解答目录 Solution

泛函分析期末试题 Solution

泛函分析期末试题参考解答 Solution

泛函分析期中试题 Solution

泛函分析证明001 Solution

泛函分析证明002 Solution

泛函分析证明003 Solution

泛函分析证明004 Solution

泛函分析证明005 Solution

泛函分析证明006 Solution

泛函分析证明007 Solution

泛函分析证明008 Solution

泛函分析证明009 Solution

泛函分析证明010 Solution

泛函分析证明011 Solution

泛函分析证明012 Solution

泛函分析证明013 Solution

泛函分析证明014 Solution

泛函分析证明015 Solution

泛函分析证明016 Solution

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泛函分析证明019 Solution

泛函分析证明020 Solution

泛函分析证明021 Solution

泛函分析证明022 Solution

泛函分析证明023 Solution

泛函分析证明024 Solution

泛函分析证明025 Solution

泛函分析证明026 Solution

泛函分析证明027 Solution

泛函分析证明028 Solution

泛函分析证明029 Solution

泛函分析证明030 Solution

泛函分析证明031 Solution

泛函分析证明032 Solution

泛函分析证明033 Solution

泛函分析证明034 Solution

泛函分析证明035 Solution

泛函分析证明036 Solution

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泛函分析证明041 Solution

泛函分析证明042 Solution

泛函分析证明043 Solution

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泛函分析证明046 Solution

泛函分析证明047 Solution

泛函分析证明048 Solution

泛函分析证明049 Solution

泛函分析证明050 Solution

泛函分析证明051 Solution

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泛函分析证明056 Solution

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泛函分析证明060 Solution

泛函分析证明061 Solution

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泛函分析证明070 Solution

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各大高校考研试题参考解答目录2020/06/21版 Solution

各大高校数学分析高等代数考研试题参考解答目录2020/06/04 Solution

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游戏004与宝宝共舞.wav Solution

游戏005面部表情.wav Solution

游戏006围巾飘飘.wav Solution

游戏007仰卧起坐.wav Solution

游戏008镜子中的宝宝.wav Solution

游戏009飞机宝宝.wav Solution

游戏010挠痒痒.wav Solution

游戏011儿歌.wav Solution

游戏012骑自行车.wav Solution

游戏013伸展运动.wav Solution

游戏014抓玩具.wav Solution

游戏015藏猫猫.wav Solution

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游戏019嘀嗒.m4a Solution

游戏020抓不到.m4a Solution

游戏021飞高高.m4a Solution

游戏022认识器官.m4a Solution

游戏023踢踢踢.m4a Solution

游戏024摇动宝贝.m4a Solution

游戏025膝上骑马.m4a Solution

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游戏026加把劲.m4a Solution

游戏027换手.m4a Solution

游戏028扶坐.m4a Solution

游戏029往前爬.m4a Solution

游戏030小小魔法师.m4a Solution

游戏031可爱的大宝贝.m4a Solution

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育儿0002数球星大比拼.m4a Solution

育儿0003数小乌龟找妈妈.m4a Solution

育儿0004数鞋袜对对碰.m4a Solution

育儿0005数美丽的相框.m4a Solution

育儿0006数小猫钓鱼.m4a Solution

育儿0007数装糖果.m4a Solution

育儿0008读啊呜啊呜.m4a Solution

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育儿0013数数连.m4a Solution

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育儿0015数丑小鸭.m4a Solution

育儿0016数红灯停.m4a Solution

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育儿0018数挂错了.m4a Solution

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