定义
向量点积的定义：
\[\vec a\cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos<\vec a,\vec b>
\]
其中 \(\cos<\vec a,\vec b>\) 表示 \(\vec a\) 和 \(\vec b\) 之间的小于等于 \(\pi\) 的夹角。
分配律
向量的点积具有对向量加法的分配律，即，\(\vec c\cdot(\vec a+\vec b) = \vec c\cdot\vec a+\vec c\cdot\vec b\)。
显然当 $\vec c =0 $ 的时候是显然成立的，其余情况下如何证明呢？首先看下面的图。
其中 \(B_A\) 表示 \(\vec B\) 在 \(\vec A\) 朝向上的投影，\(|B_A|\) 在数值上等于 \(|\vec B|\cos<\vec B,\vec A>\)，\(C_A\) 和 \((B+C)_A\) 类比即可。
这样 \(\vec A\cdot\vec B\) 在数值上就等于 \(|B_A||A|\)。
从上面的图可以看出，\(|B_A|+|C_A|=|(B+C)_A|\)，由此：
\[\begin{align}
\vec A\cdot(\vec B+\vec C) &= |\vec A||(B+C)_A|\\
&= |\vec A|(|B_A|+|C_A|)\\
&=|\vec A||B_A|+|\vec A||C_A|\\
&=\vec A\cdot\vec B+\vec A\cdot\vec B
\end{align}
\]
QED.
在坐标表示下的数值
在坐标表示下，\(\vec a = (x_a,y_a) = x_a\vec e_x+y_a\vec e_y\)，\(\vec b=(x_b,y_b)=x_b\vec e_x+y_b\vec e_y\)。
那么
\[\begin{align}
\vec a\cdot \vec b &= (x_a\vec e_x+y_a\vec e_y)\cdot(x_b\vec e_x+y_b\vec e_y)\\
&=x_ax_b\vec e_x\vec e_x+y_ax_b\vec e_y\vec e_x+x_ay_b\vec e_x\vec e_y+y_ay_b\vec e_y\vec e_y\\
&= x_ax_b+y_ay_b
\end{align}
\]