如何在 C++ 中有效地生成多边形内部的随机 X 和 Y 值？

Question

所以我正在创建一个虚拟地图软件，它基本上将坐标分解为区域。区域由定义的边界坐标列表（构成区域外缘的坐标，它们相互连接）组成。

使用这个软件，我需要在每个区域中随机选择位于区域边界坐标内的点。每个区域都彼此不同，可以有更多甚至更少的边，但至少有 3 个边，没有最大边。

我目前有一个解决方案，我只需生成随机数，直到数字在该区域内。然而，由于区域的数量（边界坐标从小到大的差异很大）和点的数量（可能是 1-100+），这种策略被证明是非常低效的（需要很长时间才能完成运行） .我想听听人们关于如何优化它的想法甚至经验/工作，这样它就不会那么迟钝了。

我创建了一个小型演示应用程序来更好地解释这种情况...

#include "stdafx.h"
#include <vector>
#include <random>

const int GenerateRandomNumberBetween(
   const int start,
   const int end)
{
   const int stable_end = ((end < start) ? start : end);
   std::random_device rd;
   std::mt19937 generator(rd());
   std::uniform_int_distribution<int> distribution(start, stable_end);

   return distribution(generator); // generates number in the range the distribution value 
}

class Area
{
public:
   Area()
   {
      // Define a primitive area for this example, but please note that this is a very basic area, and most areas are acctually much larger and have many more sides...
      // This sample area creates a triangle.

      //(-2, 2);
      boundaries_x_coordinates.push_back(-2);
      boundaries_y_coordinates.push_back(2);

      //(2, 2);
      boundaries_x_coordinates.push_back(2);
      boundaries_y_coordinates.push_back(2);

      //(-2, 2);
      boundaries_x_coordinates.push_back(-2);
      boundaries_y_coordinates.push_back(-2);
   }

   const bool InArea(
      const int x,
      const int y)
   {
      // This function works just fine, and can be ignored... I just included it to show that we check if the new coordinates are indeed within the given Area.
      int minX = 0;
      int maxX = 0;
      int minY = 0;
      int maxY = 0;
      for (int i = 0; i < boundaries_x_coordinates.size(); i++)
      {
         if (boundaries_x_coordinates[0] < minX)
         {
            minX = boundaries_x_coordinates[0];
         }

         if (boundaries_x_coordinates[0] > maxX)
         {
            maxX = boundaries_x_coordinates[0];
         }

         if (boundaries_y_coordinates[1] < minY)
         {
            minY = boundaries_y_coordinates[1];
         }

         if (boundaries_y_coordinates[1] > maxY)
         {
            maxY = boundaries_y_coordinates[1];
         }
      }

      if (boundaries_x_coordinates.size() < 3)
      {
         return false;
      }
      else if (x < minX || x > maxX || y < minY || y > maxY)
      {
         return false;
      }
      else
      {
         size_t i, j, c = 0;
         for (i = 0, j = boundaries_x_coordinates.size() - 1; i < boundaries_x_coordinates.size(); j = i++)
         {
            if (((boundaries_y_coordinates[i] > y) != (boundaries_y_coordinates[j] > y)) &&
               (x < (boundaries_x_coordinates[j] - boundaries_x_coordinates[i]) * (y - boundaries_y_coordinates[i]) /
               (boundaries_y_coordinates[j] - boundaries_y_coordinates[i]) + boundaries_x_coordinates[i]))
            {
               c = !c;
            }
         }
         return (c == 0) ? false : true;
      }
   }

   std::vector<int> GenerateRandomPointInsideArea()
   {
      int minX = 0, maxX = 0, minY = 0, maxY = 0;

      for (int i = 0; i < boundaries_x_coordinates.size(); i++)
      {
         if (boundaries_x_coordinates[i] < minX)
         {
            minX = boundaries_x_coordinates[i];
         }

         if (boundaries_x_coordinates[i] > maxX)
         {
            maxX = boundaries_x_coordinates[i];
         }

         if (boundaries_y_coordinates[i] < minY)
         {
            minY = boundaries_y_coordinates[i];
         }

         if (boundaries_y_coordinates[i] > maxY)
         {
            maxY = boundaries_y_coordinates[i];
         }
      }

      // The problem is here, this do while statement takes a tremendous of time to execute in realistic Areas simply because it takes a 
      // long time to generate all the random coordinates inside the area (sometimes could be as little as 1 coordinate set, sometimes could be 100).
      int random_x = 0;
      int random_y = 0;
      do
      {
         random_x = GenerateRandomNumberBetween(minX, maxX);
         random_y = GenerateRandomNumberBetween(minY, maxY);
      } while (!InArea(random_x, random_y));

      std::vector<int> random_coordinates;
      random_coordinates.push_back(random_x);
      random_coordinates.push_back(random_y);

      return random_coordinates;
   }

private:
   std::vector<int> boundaries_x_coordinates;
   std::vector<int> boundaries_y_coordinates;
};

int main()
{
   Area* sample_area = new Area();

   std::vector<int> random_coordinates = sample_area->GenerateRandomPointInsideArea();

   printf("Random Coordinate: (%i, %i)\n", random_coordinates[0], random_coordinates[1]);

   // Pause to see results.
   system("pause");
   return 0;
}

示例输出将输出区域内的坐标集...在这个特定示例中，我第一次运行它输出：

Random Coordinate: (-1, 1)

我读过将区域划分为三角形，然后选择一个随机三角形，并在该三角形内生成一个随机坐标是最好的解决方案......但我不知道如何从区域坐标中生成三角形设置，如果我能做到……我为什么不直接使用这种技术来选择一个随机坐标……？

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感谢 Matt Timmermans，我能够通过进一步研究该主题并应用 Matt 下面解释的大部分内容来解决这个问题。

如果其他人对这个主题有困难，这就是我想出的（主要是马特提到的，有一些变化）

1) 将多边形三角剖分成多个三角形，在我的情况下，我需要一个简单且轻量级的 C++ 解决方案，它具有 0 个图形界面。我设法在http://www.flipcode.com/archives/Efficient_Polygon_Triangulation.shtml 找到了一个名为 Triangulate 的在线工人阶级。

2) 使用加权概率随机选择一个三角形。如果一个三角形占据了原始多边形的 80%，那么大约 80% 的时间应该选择它。

在此过程中，我能够进行一些研究并找到一些变化，其中最简单的是我选择的那个（如下所示）。

3) 一旦你选择了一个三角形，在这个三角形内生成一个均匀随机的点。这可以通过使用这个公式来完成：

P = (1 - sqrt(r1)) * A + (sqrt(r1) * (1 - r2)) * B + (sqrt(r1) * r2) * C

其中 r1 和 r2 是 0 到 1 之间的随机数，如本文第 4.2 节所述... http://www.cs.princeton.edu/~funk/tog02.pdf

你已经完成了，这就是它所需要的！

或者，您可以继续使用 Matt 建议的方法，这两种方法似乎在任何情况下都可以完美运行。这是...

3) 复制三角形并用它和原始三角形创建一个平行四边形。使用以下公式：

M=(A+C)/2
P4=M-(B-M)

Where...
M is a midpoint in the original triangle where the copied triangle will connect.
A,B,C are the 3 vertices in the original triangle
P4 is the new point the forms the parallelogram with the other 3 points of the original triangle.

4) 通过在平行四边形的最小和最大 x 和 y 值之间生成随机 x 和 y 值，从平行四边形内生成一个随机数，直到您在平行四边形内。 5）如果随机坐标在复制的三角形内部，将其映射到原始三角形中的对应点，如果不是，你就完成了。

Answer 1

1. 将多边形分成三角形
2. 随机选择一个三角形，给每个三角形一个与其面积成正比的概率
3. 将三角形复制成平行四边形
4. 通过随机选择底边和高度方向的坐标，在平行四边形中选择一个随机点
5. 如果随机点在三角形的副本中，而不是在原始三角形中，则将其映射到原始三角形中的对应点。
6. 完成——在所选三角形中留下一个随机点，这是从多边形中统一选择的一个随机点。