范围树是否广泛用于空间搜索问题？答案

【问题标题】：Is range tree widely used in spacial search problems?范围树是否广泛用于空间搜索问题？
【发布时间】：2018-06-21 00:18:52
【问题描述】：

我正在寻找一些用于范围搜索的数据结构。我认为范围树提供了很好的时间复杂度（但有一些存储要求）。

但是，在我看来，其他数据结构，如 KD-trees，比 范围树 更受讨论和推荐。这是真的？如果有，为什么？

【问题讨论】：

标签： data-structures computational-geometry kdtree range-tree

【解决方案1】：

我希望这是因为 kd-trees 可以直接扩展到包含点以外的对象。这给了它许多应用，例如虚拟世界，我们想要快速查询三角形。范围树的类似扩展并不简单，事实上我从未见过。

简单回顾一下：kd-tree 可以在 O(n log n) 时间内将 d 空间中的一组 n 点预处理为使用 O(n) 空间的结构，这样任何 d 维范围查询可以在 O(n^1-1/d + k) 时间内回答，其中 k 是回答的数量。范围树需要 O(n log^d-1n) 时间进行预处理，占用 O(n log^d-1n) 空间，并且可以在 O 中回答范围查询(log^d-1n + k) 时间。

如果我们谈论的是 2 维或 3 维空间，范围树的查询时间显然比 kd 树的查询时间要好得多。然而，kd-tree 有几个优点。首先，它总是只需要线性存储。其次，它总是在 O(n log n) 时间内构建。第三，如果维度非常高，它将优于范围树，除非您的点集非常大（尽管可以说，此时线性搜索几乎与 kd-tree 一样快）。

我认为另一个重要的一点是，kd-trees 比范围树更广为人知。在参加计算几何课程之前，我从未听说过范围树，但我之前听说过并使用过 kd-trees（尽管是在计算机图形设置中）。

编辑：当您拥有数百万个点时，您会问什么是 2D 或 3D 固定半径搜索更好的数据结构。我真的不能告诉你！我倾向于说，如果您执行许多查询，范围树会更快，但对于 3D，构建速度会慢 O(log n) 倍，并且内存使用可能会在速度之前成为问题。我建议集成这两种结构的良好实现，并简单地测试什么能更好地满足您的特定需求。

【讨论】：

那么，如果我想为粒子模拟进行 2D 或 3D 固定半径搜索，其中有数百万个点并且搜索范围与整个空间相比要小得多，那么您认为哪种数据结构更好?我应该使用范围树还是有更好的选择？
基本上，我想对每个粒子执行一次查询
@Alaya 在这种情况下，您可能正在寻找称为所有最近邻搜索的东西。
我用谷歌搜索了那些数据结构和算法，但发现它们似乎是为了解决最近邻问题而提出的。那么我应该如何使用它们来解决固定半径邻居搜索，我是否需要一遍又一遍地进行 kth-nearest-neighbor 搜索，直到我发现第 k 个邻居超出搜索半径？我没有尝试过，但我想这会造成很多浪费。
@Alaya 考虑到复杂性是 O(mn log n)，其中 m 是邻居的数量，这很可能是这种情况。 fixed-radius near neighbours 的维基百科页面也提供了一些参考资料。

【解决方案2】：

为了满足您的需求（2D 或 3D 粒子模拟），您需要一个能够进行所有最近邻查询的数据结构。覆盖树是最适合此任务的数据结构。我在计算最近邻以进行核密度估计时遇到了它。这个Wikipedia page 解释了树的基本定义，John Langford's page 有一个 C++ 实现的链接。

单个查询的运行时间为O(c^12*logn)，其中c是数据集的扩展常数。这是一个上限——实际上，数据结构的执行速度比其他数据结构快。 This paper 表明，粒子模拟所需的所有最近邻居（对于所有数据点）的批处理运行时间为 O(c^16*n)，并且这个理论线性界限对您也很实用需要。构建时间为 O(nlogn)，存储时间为 O(n)。

【讨论】：

如果我想搜索固定半径内的所有邻居而不是搜索最近的邻居，那么覆盖树仍然是一个实用的选择吗？
绝对——这正是它的目标