给定这些静态点，即贝塞尔曲线答案

【问题标题】：Given these static points, which is Bezier Curve给定这些静态点，即贝塞尔曲线
【发布时间】：2017-11-21 05:14:14
【问题描述】：

我有一个问题是确定通过这些点的贝塞尔曲线：(1,1)、(2,-1)、(3,1)。我们怎样才能找到曲线？我不明白如何使用方程。又如何求曲线度数？

【问题讨论】：

我投票结束这个问题，因为它是关于几何和Mathematics，而不是编程或软件开发。

【解决方案1】：

通过这些点有无穷多的贝塞尔曲线。你需要更具体。

例如，可以定义曲线是二次曲线，第一个点是起点 (t=0)，第三个点是终点 (t=1)，第二个点是正中间 (t=0.5)。然后建立方程（代入t值和点坐标）并求解系数

p[0].x * (1-t)^2 + p[1].x * 2 * t * (1-t) + p[2].x * t^2 = X(t)
example for the first point:
p[0].x * (1-0)^2 + p[1].x * 2 * 0 * (1-0) + p[2].x * (0)^2 = 1
p[0].x = 2

【讨论】：

【解决方案2】：

N次贝塞尔曲线是2D中N+1个控制点的加权和

Sum(i=0,N) Wi(t).Ci

如果你有 N+1 个点 Pj 的 t 值是已知的，你会得到一个由 2(N+1) 个未知数中的 2(N+1) 个方程组成的线性系统

Sum(I=0,N) Wi(tj).Ci = Pj

tj 可以在 [0,1] 中统一选择。另一种选择是使用控制点之间的累积线性距离（也减少到 [0,1]）。

如果您不想自己提供 tj，那就另当别论了。然后，您可以降低曲线的度数，并针对 t 的值交易控制点。通常，方程和未知数的数量不匹配，系统会出现过定或欠定。

另一个困难是如果你强加点的顺序。那么未知数t被约束为增加，导致方程和不等式的困难系统。

【讨论】：