移动窗口 RMQ 性能提升

Question

假设我有一个长度为N 的整数数组A，我也有一个整数L N。

我试图找到的是范围 [0, L-1], [1,L], [2,L+1]....[N-L,N-1] 的最小值

（就像一个长度为L的从左到右移动的窗口）

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我的算法现在是 O(N lg N) 和 O(N lg N) 预处理：

1. 将所有号码A[0...L-1]保存在多组S中，同时将号码按顺序存储在队列Q中。 [0, L-1] 的最小值只是S 的第一个元素。 O(N lg N)
2. 弹出Q的第一个元素，在S中找到这个元素并删除。然后将A[L] 推入S。 [1, L] 的最小值只是S 的第一个元素。 O(lg N)
3. 对所有可能的范围重复第 2 步，每次迭代移动到下一个元素。 O(N)

总计为 O(N lg N)。

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我想知道是否有任何算法可以达到比这更好的要求：

1. 预处理时间（如果需要）为 O(N)
2. O(1) 的查询时间

我对 RMQ 做了一些研究，我发现最近的方法是使用稀疏表，它实现 O(1) 查询时间但 O(N lg N) 预处理时间。 reduce RMQ to LCA问题的另一种方法可以满足要求，但需要对数组A进行一些限制。

那么有没有可能，不限制A，在解决我的问题时可以满足要求？

Answer 1

是的，使用deque。我们将保持元素按升序排序，因此第一个元素始终是[i - L + 1, i] 中的最小值，对于当前位置i。我们不会保留实际元素，而是保留它们的位置。

d = empty deque
for i = 0 to n-1:

    // get rid of too old elements
    while !d.empty && i - d.front + 1 > L:
        d.pop_front()

    // keep the deque sorted
    while !d.empty && A[d.back] > A[i]        
        d.pop_back()

    d.push_back(i)
    // A[d.front] is the minimum in `[i - L + 1, i]

由于每个元素最多进入和离开双端队列一次，因此这是O(n)。