遍历非重叠区间的算法

Question

我有一个排序的非重叠间隔列表（从零开始，半开），例如

{[0, 5), [10, 20), [35, 40)}

假设我在其中一个间隔中有一个点（例如，在这种情况下为 3）和一个步长值为 +10（即向右移动 10 个位置）。有没有一种算法可以在 O(1) 时间内计算出我的最终位置？ （编辑：也许我应该说，比 O(n) 更好）

区间未覆盖的数字被视为不存在的位置，因此在上述区间上使用步骤 +10 的位置 3 将导致最终位置为 19（+1 将我的位置移动到 4，然后剩余的+9 从位置10 开始直到位置19)。另一个例子是，如果我们将位置 15 作为起点，步长值为 -10，那么最终位置将是 0。

为简单起见，我们还可以假设最终位置总是以某个区间结束。然而，我们可能知道也可能不知道应该从哪个时间间隔开始计数。

我当然可以在 O(n) 时间内迭代间隔列表（n = 间隔数）。但我觉得应该有更好的方法来解决这个问题。

附：这个问题有名字吗？这感觉它应该有一个合适的名称，但我不确定它是什么。

Answer 1

您可以通过将区间排列成二叉树来轻松获得对数时间（非叶节点应同时公开其子树的最小覆盖区间和宽度的实际总和）

所以，稍微改变一下你原来的间隔，

{[0, 5), [15, 20), [25,30), [35, 40)}

将被表示为像一棵树

               {cover:[0,40), size:20}
              /                       \
{cover:[0,20), size:10}  {cover:[25,40), size:10}
      /           \              /           \
{[0,5), 5} {[15,20), 5}  {[25,30), 5} {[35,40), 5}

其中cover是覆盖子树的最小区间，size是不包括间隙的区间宽度。

因此，为了处理您的 3 + 10 案例，我们会执行以下操作：

1. 正则二叉树搜索找到包含3的区间（对数时间）

2. 我们正在向右移动（正步骤），这个区间覆盖了那个方向的5-3=2。 2<10，所以我们还没有完成：调整剩余距离 (10-2=8) 并在树中向右移动。

   当前节点是我们父节点的左孩子，所以这意味着接下来看右孩子

3. 此时间间隔涵盖5<8，所以我们还没有完成。调整剩余距离 (8-5=3) 并再次在树中向右移动。

   当前节点是我们父母的右孩子，所以这意味着上升一个级别，在这种情况下是我们祖父母的右孩子

4. 这个区间覆盖10>3，所以我们的终点就在这里。然而，这不是一片叶子，所以我们需要再往下走，从左孩子开始。请注意，父/子范围重叠，因此我们在此步骤中不会消耗任何剩余距离。

5. 这个区间覆盖了5>3，所以我们终于找到了正确的叶子区间。我们的端点是 25+3 = 28。

请注意，虽然遍历权看起来是线性的，但如果有中间子树，我们可以跳过。不太清楚，但仍应为对数。