改进在数组中查找最小值和最大值

Question

我的老师教我快速排序算法，它的成本约为 O(n)。在运行该排序之前，我必须找出数组中哪些元素是最大和最小的。

这是我的解决方案：

//n is a size of array a[]
for(int i = 0; i < n ; i++){
  if (_max < a[i]) _max = a[i];
  if (_min > a[i]) _min = a[i];
}

让 f(n) 是该 for 循环中的条件运算符的数量（比较变量 i 除外）。所以它的成本：

• n 次比较 _max 和 a[i]
• n 时间比较 _min 和 a[i]

所以，f(n) = 2n。

我的朋友写了这样的代码：

for(int i = 0; i < n-1; i+=2)
  if (a[i] < a[i+1]){
    if (_max < a[i+1]) _max = a[i+1];
    if (_min > a[i]) _min = a[i];
  }
  else{
    if (_max < a[i]) _max = a[i];
      if (_min > a[i+1]) _min = a[i+1];
  }
// Compare one more time if n is odd
if (n % 2 == 1){
  if (_min > a[n-1]) _min = a[n-1];
  if (_max < a[n-1]) _max = a[n-1];
}

我们可以很容易地得到 f'(n) = 3n/2 + 3。当 n 足够大时，似乎 f'(n)

但我的老师要求 f(n) = n 或 f(n) = n + a，其中 a 是一个 const。

有什么想法吗？

Answer 1

没有。在 n(或 n+a) 次比较中，不可能同时找到最大值和最小值。它至少需要 3n/2 - 2 次比较。请参阅 this proof 和 this proof。也许你可以把这些证明给你的老师看……

关于这个序列还有其他提示吗？像它是均匀分布的还是这样的？

Answer 2

当n 很大时，f'(n) = f(n)，因为两者的时间复杂度都是 O(n)。

但是，您似乎需要一次找到最小值和最大值，因此您的算法时间复杂度为 O(n) 是可以的，因为 Flash 排序的成本也是 O(n)，因此总体时间复杂度将由O(n)。

换句话说：

OverallTime = FindMinMax + FlashSort
OverallTime = O(n) + O(n)
OverallTime = 2*O(n)
OverallTime = O(n)

即使 FindMinMax 更快，Flash Sort 的第二项仍然会支配整体时间复杂度。

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如果您必须更快地做到这一点，您可以构建一个名为 Segment Tree 的数据结构，它：

使用 O(n log n) 存储并且可以在 O(n log n) 时间内构建。部分 树支持搜索包含查询的所有区间 点 O(log n + k)，k 是检索到的间隔数或 段。