二维傅里叶变换实现中的错误

Question

我正在尝试在 Matlab 中使用 1D DFT 的组合来实现 2D DFT。在将我的结果与 Matlab 的内置函数 (fft2) 进行比较时，我意识到我有以下问题：

1. 虚部的符号正在反转。即 + 更改为 - ，反之亦然。
2. 除第一行外，所有行均按降序排列。

此图显示了两个结果之间的比较。侧面的红色数字表示重新排序问题。

我的代码如下：

x = imread('img.png');
x = double(x);
x = x(1:12,1:5)

% FFT
Xw = complex(zeros(size(x)));
for row = 1:size(x,1)
    Xw(row,:) = fft(x(row,:));
end

for col = 1:size(x,2)
    Xw(:,col) = fft(Xw(:,col)');
end

有人可以指出我的问题出在哪里吗？谢谢

Answer 1

' 运算符用于复数转置，这意味着矩阵被转置并且取值的共轭。这意味着复数值的符号是相反的。对于实数，您不会注意到这一点，因为从技术上讲，虚部为零。

您想改用.' 来保留虚部的符号，因为每行执行中间 FFT 会产生复数值。只使用' 会改变中间结果的虚部，这会给你错误的结果：

for col = 1:size(x,2)
    Xw(:,col) = fft(Xw(:,col).');
end

顺便说一句，作为一个小提示，根本不需要转置结果的中间列。如果您提供单个向量，fft 将沿第一个非单个维度运行，因此使用转置是多余的。如果您根本不转置结果，它实际上会有所帮助：

for col = 1:size(x,2)
    Xw(:,col) = fft(Xw(:,col));
end

这是一个例子。我生成了一个随机的 10 x 10 矩阵：

rng(123);
x = rand(10);

使用您的代码纠正转置（并且在开头没有索引），我们得到：

>> Xw

Xw =

  Columns 1 through 5

  50.1429 + 0.0000i  -0.4266 - 0.2624i   0.8803 + 0.9311i  -0.0526 + 1.7067i   0.7187 + 0.7161i
   0.5066 - 2.4421i   2.7551 - 1.7421i  -1.9994 + 0.6052i   0.2891 + 3.4182i   0.5300 + 2.4417i
   0.1956 + 0.1790i   4.1461 + 1.9648i  -1.3781 - 1.0303i  -0.6872 - 1.0103i  -1.2184 - 0.5783i
  -0.3645 - 1.6193i  -1.8470 - 1.3445i   4.1555 + 0.7432i   2.3707 + 3.8265i  -1.9526 + 1.9464i
  -3.1136 - 0.3704i   2.4132 - 1.0795i  -0.2255 + 1.3062i   0.8436 - 0.5157i  -0.3493 - 0.9994i
  -1.5962 + 0.0000i  -0.3780 - 1.4055i   1.6242 - 0.4842i   0.4457 + 0.4718i  -0.1794 - 2.0014i
  -3.1136 + 0.3704i   0.0134 + 0.1267i   1.0630 + 1.4563i  -0.8864 - 0.3174i  -0.5720 + 1.3041i
  -0.3645 + 1.6193i   0.7028 + 0.2797i   0.1064 + 2.0705i   2.1644 + 0.1685i   0.3095 + 0.7426i
   0.1956 - 0.1790i   2.3511 + 2.1440i   0.7301 - 0.8264i  -1.1974 - 0.3794i  -2.4981 + 1.2363i
   0.5066 + 2.4421i  -3.5897 + 0.7444i   1.2191 - 3.6386i  -2.9659 - 1.6626i  -2.0339 + 0.0880i

  Columns 6 through 10

   2.0373 + 0.0000i   0.7187 - 0.7161i  -0.0526 - 1.7067i   0.8803 - 0.9311i  -0.4266 + 0.2624i
  -1.8782 - 0.9047i  -2.0339 - 0.0880i  -2.9659 + 1.6626i   1.2191 + 3.6386i  -3.5897 - 0.7444i
   2.3752 + 1.8811i  -2.4981 - 1.2363i  -1.1974 + 0.3794i   0.7301 + 0.8264i   2.3511 - 2.1440i
   4.5213 + 0.9237i   0.3095 - 0.7426i   2.1644 - 0.1685i   0.1064 - 2.0705i   0.7028 - 0.2797i
  -1.2259 + 2.1690i  -0.5720 - 1.3041i  -0.8864 + 0.3174i   1.0630 - 1.4563i   0.0134 - 0.1267i
   6.2411 + 0.0000i  -0.1794 + 2.0014i   0.4457 - 0.4718i   1.6242 + 0.4842i  -0.3780 + 1.4055i
  -1.2259 - 2.1690i  -0.3493 + 0.9994i   0.8436 + 0.5157i  -0.2255 - 1.3062i   2.4132 + 1.0795i
   4.5213 - 0.9237i  -1.9526 - 1.9464i   2.3707 - 3.8265i   4.1555 - 0.7432i  -1.8470 + 1.3445i
   2.3752 - 1.8811i  -1.2184 + 0.5783i  -0.6872 + 1.0103i  -1.3781 + 1.0303i   4.1461 - 1.9648i
  -1.8782 + 0.9047i   0.5300 - 2.4417i   0.2891 - 3.4182i  -1.9994 - 0.6052i   2.7551 + 1.7421i

我还验证了此方法无需转置。您将获得与执行.' 相同的结果。现在，使用fft2，我们得到：

>> Xw2 = fft2(x)

Xw2 =

  Columns 1 through 5

  50.1429 + 0.0000i  -0.4266 - 0.2624i   0.8803 + 0.9311i  -0.0526 + 1.7067i   0.7187 + 0.7161i
   0.5066 - 2.4421i   2.7551 - 1.7421i  -1.9994 + 0.6052i   0.2891 + 3.4182i   0.5300 + 2.4417i
   0.1956 + 0.1790i   4.1461 + 1.9648i  -1.3781 - 1.0303i  -0.6872 - 1.0103i  -1.2184 - 0.5783i
  -0.3645 - 1.6193i  -1.8470 - 1.3445i   4.1555 + 0.7432i   2.3707 + 3.8265i  -1.9526 + 1.9464i
  -3.1136 - 0.3704i   2.4132 - 1.0795i  -0.2255 + 1.3062i   0.8436 - 0.5157i  -0.3493 - 0.9994i
  -1.5962 + 0.0000i  -0.3780 - 1.4055i   1.6242 - 0.4842i   0.4457 + 0.4718i  -0.1794 - 2.0014i
  -3.1136 + 0.3704i   0.0134 + 0.1267i   1.0630 + 1.4563i  -0.8864 - 0.3174i  -0.5720 + 1.3041i
  -0.3645 + 1.6193i   0.7028 + 0.2797i   0.1064 + 2.0705i   2.1644 + 0.1685i   0.3095 + 0.7426i
   0.1956 - 0.1790i   2.3511 + 2.1440i   0.7301 - 0.8264i  -1.1974 - 0.3794i  -2.4981 + 1.2363i
   0.5066 + 2.4421i  -3.5897 + 0.7444i   1.2191 - 3.6386i  -2.9659 - 1.6626i  -2.0339 + 0.0880i

  Columns 6 through 10

   2.0373 + 0.0000i   0.7187 - 0.7161i  -0.0526 - 1.7067i   0.8803 - 0.9311i  -0.4266 + 0.2624i
  -1.8782 - 0.9047i  -2.0339 - 0.0880i  -2.9659 + 1.6626i   1.2191 + 3.6386i  -3.5897 - 0.7444i
   2.3752 + 1.8811i  -2.4981 - 1.2363i  -1.1974 + 0.3794i   0.7301 + 0.8264i   2.3511 - 2.1440i
   4.5213 + 0.9237i   0.3095 - 0.7426i   2.1644 - 0.1685i   0.1064 - 2.0705i   0.7028 - 0.2797i
  -1.2259 + 2.1690i  -0.5720 - 1.3041i  -0.8864 + 0.3174i   1.0630 - 1.4563i   0.0134 - 0.1267i
   6.2411 + 0.0000i  -0.1794 + 2.0014i   0.4457 - 0.4718i   1.6242 + 0.4842i  -0.3780 + 1.4055i
  -1.2259 - 2.1690i  -0.3493 + 0.9994i   0.8436 + 0.5157i  -0.2255 - 1.3062i   2.4132 + 1.0795i
   4.5213 - 0.9237i  -1.9526 - 1.9464i   2.3707 - 3.8265i   4.1555 - 0.7432i  -1.8470 + 1.3445i
   2.3752 - 1.8811i  -1.2184 + 0.5783i  -0.6872 + 1.0103i  -1.3781 + 1.0303i   4.1461 - 1.9648i
  -1.8782 + 0.9047i   0.5300 - 2.4417i   0.2891 - 3.4182i  -1.9994 - 0.6052i   2.7551 + 1.7421i

---

我们可以通过确保两个矩阵之间的所有元素差异都小于一个小的阈值来证明这两个是相等的......比如1e-10：

>> all(abs(Xw(:)-Xw2(:)) <= 1e-10) 

ans =

     1

带走消息

永远不要使用' 进行转置......永远。 Luis Mendo 是这一事实的坚定拥护者。