生成函数：更快地生成 F(n)答案

【问题标题】：generating function: faster generation of F(n)生成函数：更快地生成 F(n)
【发布时间】：2012-07-09 04:39:47
【问题描述】：

我最近做了一个测试......这个问题很长，解决方案归结为 F(n) = 2*F(n-1) + 2*F(n-2)...

我有一个使用动态规划的 O(n) 解决方案......但是，考官并不满意......

我的解决方案是在计算时将每个 F(n) 简单地存储在一个数组中。花了 O(n) 时间。由于我们只需要前两个元素，因此只需使用两个变量，就可以解决空间问题。

但是 O(n) 不够快...

该函数看起来像斐波那契函数，并且可以在 O(lg n) 时间内生成一个斐波那契数......但我无法为我的问题得到一个 O(lg n) 求解......

所以我的问题是如何提高函数的时间复杂度？

【问题讨论】：

I want to generate the nth term of the sequence 1,3,8,22,60 ,164 in Order(1) or order of (nlogn) 的可能重复项
这看起来与几个小时前提出的问题非常相似：stackoverflow.com/questions/11381277/…
这是我在过去 2-3 周内第五次看到这个问题。某个地方的某位教授一定非常喜欢在他/她的讲座中提及这个网站。

标签： algorithm

【解决方案1】：

完全一样。在matrix form中表达您的复发；这将问题简化为求矩阵的 n 次方，which can be done in log(n) time。

【讨论】：

【解决方案2】：

对于任何线性递推关系（就是这样），都有一个封闭公式。

它涉及求解特征多项式，在这种情况下是：

t^2 - 2*t - 2 = 0   (since F(n) - 2 * F(n-1) - 2 * F(n-2) = 0)

如果t1和t2是这个二次方程的（复）解，那么公式是：

F(n) = a * t1^n + b * t2^n

其中 a 和 b 是常数，可以从初始条件（即本例中的 F(0) 和 F(1) 的值）中找到。 IE。

F(0) = a + b
F(1) = a * t1 + b * t2

求解 a 和 b：

a = ( t2 * F(0) - F(1) ) / ( t2 - t1 )
b = ( t1 * F(0) - F(1) ) / ( t1 - t2 )

在这种特殊情况下，特征多项式的根是：

t1 = 1 + sqrt(3)
t2 = 1 - sqrt(3)

【讨论】：

+1 尽可能使用数学。（另外：很好的背景和解释，为读者提供了如何在可能的情况下开发这些方程的工具）
一个重要的提示：封闭形式的解决方案并不意味着快速 O(1) 或 O(lg n) 解决方案。 t1 和 t2 计算第 n 项所需的精度随着 n 而增长。
@tskuzzy：如果你很狡猾，就不会。 (a + b.sqrt(3)) * (c + d.sqrt(3)) == (e + f.sqrt(3))，其中e == (a.c + b.d)，f == (a.d + b.c)。换句话说，这一切都可以用整数数学来完成。
@OliCharlesworth：等等，我没有遵循。这些方程式是从哪里来的，它们的含义是什么？
@tskuzzy：您的原始评论暗示由于精度限制， sqrt(3) 的非理性/分数性质将是一个问题。我的评论指出这不是问题。我给出的方程式只是一个例子；他们说明了在 sqrt(3) 上只用整数算术处理代数是可能的。

【解决方案3】：

在您的解决方案中，您还使用了 O(n) 内存。

您可以使用简单的循环来计算第 n 个斐波那契元素：

您唯一需要保存的是最后 3 个 (a1,a2,a3) 元素，在每次迭代中，您将 a1 更新为 a2，将 a2 更新为 a3，并将 a3 更新为 old(a1) + old (a2)（您可以为此使用 2 个临时变量）。

所以我们得到了运行时 O(n) 只有 O(1) 内存的简单算法。

【讨论】：