在具有至少 X 间隙长度的区域中生成点答案

【问题标题】：Generating points in area with at least X gap length in-between在具有至少 X 间隙长度的区域中生成点
【发布时间】：2011-11-15 14:08:08
【问题描述】：

我正在尝试提出一种在给定区域（在我的情况下为正方形）中生成 X 个随机点的方法。造成这样一个问题的一件事是，每个点都必须与所有其他点相距至少 Y 个单位。

首先想到的是（在 c# 中）检查新点与所有现有点之间的距离：

while(points.Count < pointsToGenerate)
{
     Point newPoint = NewPoint();
     bool addPoint = true;
     foreach(Point p in points)
     {
          if((p - newPoint).Length() < minDistance)
          {
              addPoint = false;
              break;
          }
     }

     if(addPoint)
     {
          points.Add(newPoint);
     }
}

现在这肯定会起作用，但是如果没有找到有效点，这将成为一个永无止境的循环。那么在此处输入一个神奇的数字 Z 作为尝试次数的限制？

if(loopCount > 100)
{
     break;
}

现在这有一些明显的问题。如果这些点是随机生成的，那么即使还有位置可以放置该点，loopCount 也可以超过 Z。它不仅可以，而且会发生！

我可以做的是为每次通过创建一个可用点列表，然后选择其中一个随机点。除了一件事外，这将完美无缺：性能。我的应用程序不需要超级性能，但面积是 1000^2。即使我将自己限制为整数，每次通过也要检查很多点！

所以，我能想出的可能还不够，因此我希望得到一些帮助。有没有更好的方法在区域 A 中生成点 Y 之间距离最小的 X 点？

谢谢！

编辑： 更好，我的意思是在性能与完美之间取得平衡的情况下通常更好。有点模糊，我知道。我还不确定生成这些点需要多少开销，所以我基本上追求比我自己的方法更优雅的方法。

~罗伯特

【问题讨论】：

如果不能以 Y 间距分布 X 点，您希望发生什么？那些只有一种排列方式的情况呢？您是在生成点列表还是一组点？
@Eric - 如果距离不为零，那么集合/列表的区别有什么关系？
计算几何方面的专家可能会使用 Voronoi 图为您提供一些巧妙的算法。我不是这样的专家，所以我将在此评论中喃喃自语。
我也会咕哝着使用circle packing 来“规范化”你的问题。您可以缩小圆圈，使它们以最小距离分开，并且在每个圆圈中最多创建一个随机点。不过，我还没有仔细考虑过这个……
@Mr.TAMER 一个非常好的建议！我将创建一组最佳放置的点，然后选择其中的一个随机子集，但如果使用了太多点，那将创建一种人工外观的模式。在处理大量点时，使用概率会创建更好（看起来更随机）的模式，但也会产生更多开销。我不确定我的申请是否需要您的方式，但我确实喜欢它！ :)

标签： algorithm computational-geometry

【解决方案1】：

要了解您的问题：您是在寻找最佳答案（即：家庭作业），还是寻找比创建随机点更好的非常好的算法？

在第一种情况下，如果您没有关于 A 区域的先验信息，恐怕这是一个非常复杂的问题。而且我相信很难找到比探索每个案例都更快的算法.

但是，如果您对 A 有一些先验信息，那么事情可能会更简单。例如，如果是凸面，您可以利用 如果您的空间是无限的，则最佳路面是六边形这一事实。这意味着您必须将点（在 X 中）放在三角形的末端

所以：

计算凸包 (O(n*log(n)))
计算直径（集合中最远的两个点）
首先在 X 中添加一个点（直径）
然后添加与六边形路面相对应的点，有利于凸包上的点

这个算法不是最优的（除非你定义了一个非常好的“有利于凸包上的那些”......）

编辑：E 先生的评论提醒我，最佳路面的东西来自circle packing。感谢他的精确度！

但是，我确实有另一种算法，看起来非常不错，甚至可能是最优的！它不需要 A 上的任何条件，而且有点贵，但不会太多。是的，我知道，这与我所说的相矛盾，但谁在乎呢！有一个好的算法就足够了。

让我们将 B 命名为到目前为止可用点的集合。而 C 是构成 B 的端点的点。开始时，B=A，如果 A 是正方形，则 C 由 4 个点（角）组成。你只需要递归：

计算 B 最远的两个点。您只需要 C 中的点
在 X 上随机添加一个点（直径）
从 B 中删除现在不可用的点。您只需要为此更新 C。

我知道，如果你在 1000x1000 的网格中工作，C 以 4 个点开始，但在 X 上加一个点后，这意味着 C 增长到 1570 个点（大约为 (pi/2)1000）。您必须注意，您从未放入内存 B，它很大（O(n^2)，如果 A 可以放入 nn 网格中）只有 C，我相信在任何时候，大小C 是 O(n) ，仍然比 O(n^2) 好得多。并且计算直径仍然是 O(size(C)) = O(n)

【讨论】：

非常有帮助，谢谢！我试图在正方形区域中获得随机点，没有复杂的形状，并且它们不会彼此靠近。你所提议的（据我所知）是用尽可能多的点以最佳方式填充形状，然后选择其中的一个随机子集作为点。虽然点之间的距离永远不会小于 Y，但这不会涵盖所有可能的位置。例如，如果您在 100*100 区域中有三个点，即使这些点不在最佳放置集中，您也可以拥有 [0,0]、[5,5] 和 [6, 20]。喜欢这个答案，它很好地解决了我的问题！

【解决方案2】：

这是我的想法，我认为您必须将该区域划分为边长等于 Y 的正方形。这样做之后，您可能会留下一个边小于 y 的矩形，除非面积 = 整数 * y2。现在您可以生成的最大点数是正方形+矩形的数量。因此，如果 X 不止于此，您可以以失败结束该方法。

从最后一个（右下）最小的矩形开始生成点。在那里选择一个随机点，并在其顶部矩形和左侧矩形上找到一个点，使它们与第一个点相距 Y，并且仅当其直接右侧和底部正方形/矩形为时才开始在矩形/正方形中填充一个点填充。因此，您在最后填充第一个正方形。

在生成随机点时，您只需要担心与最多两个点的距离，即最右边的正方形/矩形中的一个点和最下面的正方形/矩形中的一个点。当然，如果你得到超过 X 点，你可以停下来，或者忽略随机的几个点来剩下 X 点

为了让事情更随机，你可以从四个边中的任何一个开始跳 Y 边的正方形，（这里是左上角），这样每次的起点都不一样。

【讨论】：

我可能理解错了，但这不会与创建网格相同的结果，其中网格中的交叉点是一组可能的点（因为只有一到两个 (? ) 每个矩形可能有点。
不，它不会，对于您在最后一个矩形中选择的每个随机点，您可以在左侧和顶部的矩形中拥有无限可能的点。该点可以是矩形内的任何点，而不是交点。

【解决方案3】：

如果限制自己使用整数是一种选择，那么有一种算法可以工作。只需跟踪每行或每列中可用的位置数，然后为新点的空缺中的每一行或每列重新计算这些值。这里的关键是选择的随机位置只在可用点中选择，而不是整个网格。

PointsRemaining = X
Points = new CoordinateCollection
Width = 1000
Height = 1000
if (Width > Hight)
    Swap(Width, Hight)
    Swapped = true
NumberOfLocationsAvailable = new int[Width]
InitializeArrayValues(NumberOfLocationsAvailable, Height)
TotalLocationsAvailable = Width * Height
While (TotalLocationsAvailable > 0 and PointsRemaining > 0)
    NextPoint = Random(0, TotalLocationsAvailable)
    NextCoordinates = FindCoordinates(NextPoint, NumberOfLocationsAvailable)
    NumberLocationsRemoved = RemoveLocationsWithinDistance(NextCoordinates, Points, NumberOfLocationsAvailable, Y)
    TotalLocationsAvailable = TotalLocationsAvailable - NumberLocationsRemoved
    Points.Add(NextCoordinates)
    PointsRemaining = PointsRemaining - 1
if (Swapped)
    Points = RotatePoints(Points)

这使RemoveLocationsWithinDistance 变得非常复杂，但这不应该太困难。它将需要一个大小为 Y 的布尔值的二维方形数组。

【讨论】：

【解决方案4】：

如果您想要一个随机分布，您可以通过将网格离散为大小为 y 的单元格，在 O(1) 时间内回答“距离该点是否有小于 y 的点”。那么距离另一个点 Q 小于 y 的任何点 P 必须位于与 Q 相邻的 9 个单元格之一中，因此您可以只使用哈希表并进行 9 次检查。此外，每个单元格最多可以包含 2 个点。

使用这样的数据结构，您可以进行随机抽样并拒绝以填补您的空间。只要 y 与总面积相比相对较小，您就会很快成功。

【讨论】：

【解决方案5】：

您可以使用分子动力学技术。

从一个大盒子开始，将你的点分散在一些规则的网格上，间距 > Y。

现在将每个点视为一个球形粒子，该粒子通过一些排斥势（例如排斥性 Lennard-Jones）与其他点相互作用，并选择参数以使每个粒子的有效直径为 Y。

给粒子随机速度，并用离散求解器求解运动方程（比如速度-Verlet，它不一定要准确）。粒子之间的排斥将使粒子 Y 分开。随着时间步长更新粒子位置，每次将框缩小一点，直到达到所需的大小。（哦，盒子可以用周期性边界条件，或短程排斥场来处理。）

当然，您必须确保可以将所有粒子都放入盒子中。在 2D 中，圆形的最佳包装是已知的，请参阅开普勒问题。不是听说现在3D开普勒问题也解决了吗？

【讨论】：