在少于 O(n) 的比较中找到 3 个最小元素的时间复杂度

Question

关于确定 2 个算法的时间复杂度，我有 2 个问题。

问题 1

使用比较从一组 n 不同 数字中确定最小的 3 个数字。

1. 这 3 个元素可以使用 O(log²n) 比较来确定。
2. O(log²n) 是不够的，但是可以使用 n + O(1) 比较来确定它们。
3. n + O(1) 是不够的，但是可以使用 n + O(logn) 比较来确定它们。
4. n + O(logn) 是不够的，但是可以使用 O(n) 比较来确定它们。
5. 以上都不是。

在这里，我想到的方式是取 3 个变量（例如：MIN₁, MIN₂ & MIN₃ where MIN ₁ 是最小的，而 MIN₃ 是这 3 个中最大的），用列表的 1^st 3 个元素初始化它们并扫描列出一次。对于列表中的每个数字 x，我们有以下 4 种情况：

1. if x 1then, Min₃ = Min₂;最小₂ = 最小₁;最小值₁ = x;
2. else if Min₁2then, Min₃ = Min ₂;最小值₂ = x;
3. else if Min₂3then, Min₃ = x ;
4. else if Min₃then，什么都不做

因此，基本上它需要 在最坏情况下进行 3n 次比较，在最佳情况下进行 0 次比较。

如果可以以其他更简单（时间限制更短）的方式完成，请纠正我。实际上，我对选项 3 和 4 感到困惑。

问题 2

使用比较从一组 n 不同数中确定最小和最大数。

1. 这两个元素可以使用 O(log¹⁰⁰n) 比较来确定。
2. O(log¹⁰⁰n) 是不够的，但是可以使用 n + O(logn) 比较来确定它们。
3. n + O(logn) 不够，但是可以使用 3.⌈ⁿ⁄₂⌉ 比较。
4. 3.⌈ⁿ⁄₂⌉ 是不够的，但是可以使用 2.(n-1) 比较。
5. 以上都不是。

使用与之前类似的论据，我得出了答案 2(n-1)。虽然我仍然对选项 2 和 4 感到困惑。

Answer 1

问题 1： 您可以通过首先与 MIN2 进行比较来将您的算法改进为 2n 次比较。这仍然是 O(n)。 要查看 n+O(1) 是不够的，请注意有 n*(n-1)*(n-2) 种可能性，其中 MIN1、MIN2 和 MIN3 位于。 取对数以 2 为底，得到所需比较次数的下限。

问题 2： 这可以在 3*ceil(n/2) 中通过比较两个连续元素来完成，然后将较小的与当前的最小值进行比较，将较大的与当前的最大值进行比较。