我有一个最初没有边的无向图。现在在每一步中都会添加或删除一条边，并且必须检查图形是否至少有一个圆。可能最简单的充分条件是
连接的组件 + 边数
由于我上面提到的“步骤”被执行了数百万次，所以这个检查必须非常快。所以我想知道什么是一种快速检查条件的方法，具体取决于每个步骤中只有一个边发生变化的事实。
有什么建议吗？
【问题讨论】：
如果您有兴趣，可以尝试实现完全动态的图连接数据结构，如"Poly-logarithmic deterministic fully-dynamic graph algorithms I: connectivity and minimum spanning tree" by Jacob Holm, Kristian de Lichtenberg, Mikkel Thorup 中所述。
添加边时，检查两个端点是否连接。如果不是，则连接组件的数量减少一。删除一条边后，检查两个端点是否仍然连接。如果不是，则连接组件的数量增加一。边插入和删除的摊销运行时间为O(log^2 n)，但我可以想象常数因子相当高。
newer result 有更好的界限。还有一些动态连接算法的experimental evaluation 也考虑了实现细节。还有一个Javascript implementation。我不知道它有多好。
我想在实践中你可以通过维护一个跨越森林来更容易。您（几乎）免费获得边缘添加和非树边缘删除。对于树边缘删除，您可以使用 BFS 或 DFS 形式的“蛮力”来检查端点是否仍然连接。特别是如果节点的数量是有界的，也许在实践中效果很好，BFS 和 DFS 都是O(n^2) 用于密集图，你可以将其中的一些工作计入你幸运但没有很多的操作去做。
【讨论】：
我建议您标记所有节点。使用整数，这是最简单的。
在任何时候，您的图表都会被分成许多不相交的子图表。最初，每个节点都在自己的子图中。
保持每个子图都有唯一标签的条件，并且子图中的所有节点都带有该标签。最初，只需给每个节点一个唯一的标签。如果您的问题包括添加节点，您可能需要维护一个变量来保存下一个可用标签。
当且仅当一条新边将连接具有相同标签的两个节点时，该边将创建一个循环。
每当您添加一条边时，您将连接两个先前不相交的子图。您必须重新标记其中一个子图以匹配另一个，这将需要访问一个子图的所有节点。这是该方案中最高的计算负担。
如果您不介意分配更多空间，您还应该维护一个正在使用的标签列表，与携带该标签的节点数相关联。这将允许您在重新标记时选择较小的子图。
【讨论】：
如果您知道哪两个节点被新边连接，您可以使用某种寻路算法来检测两个节点之间的替代路径。换句话说，如果在添加新边之前存在连接新边的两个节点的路径，则添加新边将创建一个圆。
【讨论】：