用python解决google foobar staircase问题

Question

给定n 的砖块数量，我找出可以建造多少个不同的楼梯：每个楼梯必须至少有 2 个台阶。不允许两个台阶处于相同高度 - 每个台阶必须低于前一个台阶。所有台阶必须至少包含一块砖。台阶的高度被归类为构成该台阶的砖的总量。 例如，当 N = 5 时，您有 2 种选择如何建造楼梯（# 表示砖）：

   # 1
#### 4

或

 ## 2
### 3

我实际上已经设法解决了这个问题：更明显的方法是使用itertools 找到所有可能的组合，然后选择可能的组合。但是我终于想出了这样的事情：

def _solution(bricks, struct):
  result = 0
  for used_bricks in range(1, bricks if not struct else struct[-1]):
    elapsed_bricks = bricks - used_bricks
    result += _solution(elapsed_bricks, [*struct, used_bricks])
  if not bricks:
    # print(struct)
    result += 1
  return result

def solution(n):
  if not n:
    return 0
  return _solution(n, [])

这很有效，太棒了！如果我调用solution(6)，它会按预期返回3，但是这种函数递归方法对于n 的低值非常有效，计算n = 100 需要一个小时，但是我正在做的仍然是计算所有可能的排列。有没有最快的方法来做到这一点？

Answer 1

it took an hour to calculate n = 100
因为您的解决方案是指数级的，对于标准机器来说，这是意料之中的。

each staircase must have at least 2 steps. No two steps are allowed to be at 
the same height - each step must be lower than the previous one. All steps must 
contain at least one brick 

由此我们可以推断，对于某些数量的砖块 N，任何解决方案的阶梯都是从 1 到 N-1 的自然数的升序排序，使得它们的总和为 N，并且每个数字都是唯一的。
这个问题可以简化为分区问题，我们需要找到 N 个分区的总数，使得每个分区的大小都是唯一的。

令 S_k^N 为 N 的分区数，使得每个和数都是从 1 到 k。
这遵循重复， S_k^N = S_k-1^N-k + S_k-1^N
S_N-1^N
这是使用自下而上动态规划的解决方案，O(N²)，

def _solution(bricks):
    S = [1, *([0]*(bricks))]
    for i in range(1, bricks):  # k for our Sk(N) 
        for j in range(bricks, i-1, -1):  # N for our Sk(N)
            S[j] += S[j-i]  
    return S[bricks]

def solution(n):
  if not n or n < 3:  #2 steps min. are required which requires (1+2)=3 bricks
    return 0
  return _solution(n)