C递归函数找到最小值

Question

我正在写一个程序：

例如输入是 5（它不仅可以是 5）数字，我在数组中读取数据：1, 2, 3, 4, 5。我可以从这个数组中选择一些元素（不是第一个或最后一个），例如3，然后我删除数组中的这个数字，并将 sum （最初是 0 ）相乘的从左到右的元素与从右到右的元素相乘（在这种情况下是指 2*4 ）。结果数组是1, 2, 4, 5，然后我一次又一次地这样做，直到元素数等于2（正好是1 and 5，因为我们不能删除这些数字）。

例如：（其中 A、B、C、D 是一对数字 1 和 2、2 和 3 等。）

 A B C D
1 2 3 4 5

删除元素的顺序有 6 种可能的组合（并在 sum 中添加左右乘法）：

A (B (C D))
A ((B C) D)
(A B) (C D)
(A (B C)) D
((A B) C) D
A (B (C D))

目标是找到最小的总和！有两种解决方法，一些聪明的算法或对每个组合使用递归，然后选择最小的一个。谁能给我一个提示如何编写这样的递归，从哪里开始编写（或者可能是一些聪明的算法）。天呐

Answer 1

递归回溯解决方案相当简单（伪代码）：

def solve (list): 
    if list.length == 2:
        return 0
    ans = INFINITY
    for each interior element:
        remove element from list
        ans = min(ans, leftelement * rightelement + solve(list))
        place element back in original position in list
    return ans

但是，该算法的速度不足以处理非平凡数据集，因为它的运行时间是阶乘 (O(n!))。优化递归解决方案的常用方法是dynamic programming。让我们提出子状态：

dp[a][b]: minimum cost to reduce array[a .. b] to two elements on the edge
          (array[a] and array[b])

基本情况是dp[i][i + 1], i = {0 .. size - 1)（两个相邻元素）。由于没有要删除的内部元素，因此此子状态设置为 0。

对于所有其他情况dp[a][b] 其中b - a >= 2，我们可以通过删除任何在[a + 1, b - 1] 之间索引的内部元素来划分array[a .. b]。如果我们在元素 i 上划分子数组，则成本为dp[a][i] + dp[i][b] + array[a] * array[b]。我们希望最小化每个子状态的成本，因此我们将对所有可能的划分元素取这些值中的最小值。最后的答案就是dp[0][size - 1]。

由于有 O(n^2) 子状态，每个子状态平均需要考虑 O(n) 划分元素，因此总运行时间为三次 (O(n ^ 3))，应该在合理的时间内运行中小型数据集。