确定一个数字的可能组合的数量以获得指定的结果

Question

我遇到了这个问题：

给定一个整数，仅使用 2,3,7 来确定可能的组合数，其总和将给出整数。

例如：

4 - 2  {(2,2)}
9 - 3  {(2, 7), (2, 2, 2, 3), (3, 3, 3)}

一种方法是遍历 3 个循环，然后确定总和是否可达到。代码如下：

for( i=0; i<=num/2; i++){
    for( j=0; j<=num/3; j++){
         for( k=0; k<=num/7; k++){
            if(i*2+j*3+k*7 == num) 
                 count++;
}

这里的 count 将有可能的集合数。但这是非常低效的并且需要 O(n3) 时间。我想知道是否有任何其他有效的方法来计算不同集合的数量。

Answer 1

这可以在 O(n^2) 内解决。

避免最后一个循环。

for( i=0; i<=num/2; i++){
    for( j=0; j<=num/3; j++){
        k = num - i*2 - j*3;
        if(k%7==0)
                 count++;
    }
}

Answer 2

这个问题的 dp 解决方案应该是线性的。 (Implemented here)

#include <stdio.h>
#define SZ 5
int memo[SZ+1+7];


int main(void) {
    int i = 0;
    memset(&memo[0], 0, sizeof memo);
    memo[0] = 1;

    for(i = 0; i <= SZ; ++i) memo[i+2] += memo[i];
    for(i = 0; i <= SZ; ++i) memo[i+3] += memo[i];
    for(i = 0; i <= SZ; ++i) memo[i+7] += memo[i];

    printf("%d\n", memo[SZ]);

    return 0;
}

1. 我们从具有理想无限大小的一维 dp 数组 memo 开始 （在实践中动态分配）大小不会导致 索引 SZ + max_num 的边界。
2. 用 1 初始化这个数组的元素 0，因为有 1 种方式 获取empty_sum。
3. 如果我们可以通过x种方式获得一个数字k，那么还有x种方式 获取k+2、k+3 和k+7。这是 3 个循环正在使用的内容。 (Number_of_ways[{2,3,7}+i] += number_of_ways[i])
4. 所有循环完成后，memo[k : 0 - SZ] 包含 我们可以获得 k 的方法。

给出 O(k * N) 的复杂度，这里 k 为 3 (2, 3, 7)。对于常数 k，这是线性的。