如何找到合适的五边形旋转以适合 LibGDX 六角镶嵌球体？答案

【问题标题】：How to find the appropriate rotation of a pentagon for fitting into a LibGDX hex-tessellated sphere?如何找到合适的五边形旋转以适合 LibGDX 六角镶嵌球体？
【发布时间】：2015-07-02 13:48:11
【问题描述】：

我今天有一个棘手的问题，涉及很多向量。我试图让他们保持直截了当。我有的是这个形状（主要是 12 个五边形的六边形）：http://i.imgur.com/WDSWEcF.jpg

我想在它们的 12 个点中放置 12 个五边形网格。我首先在原点（该形状的中心）创建 12 个网格，然后使用以下代码旋转并将它们移动到位。

        for (int i = 0; i < 12; ++i) {
          Vector3 pentPoint = pentPoints.get(i); // The center of each pentagon.
          ModelInstance pent = pents.get(i);

          Vector3 direction = (pentPoint).cpy().sub(new Vector3(0, 0, 0))
                .nor();
          direction.set(direction.x, direction.y, direction.z);
          pent.transform.setToRotation(Vector3.Y, direction);
          pent.transform.setTranslation(pentPoint);}

现在，这几乎就是我所需要的。结果是：http://i.imgur.com/Ch5Jhb8.jpg。现在忘记缩放，您可以看到五边形旋转不正确。它不与它的插槽对齐。我知道我可以根据每个五边形的一些值使用 pent.transform.rotate(Vector3.Y, *value*); 修复这种旋转。问题是，我不知道如何计算这个值。

谁能帮助或指出一些资源？或者，我可以利用我知道形状中每个顶点的坐标这一事实，通过使用 LibGDX 的模型构建器绘制三角形来填充这些五边形。我认为这比定位.objs 的性能要差。想法？

【问题讨论】：

标签： vector libgdx geometry transform

【解决方案1】：

我对您正在使用的库一无所知，但也许我可以在几何方面提供帮助。一种方法是为其中一个五边形的 1/5 绘制网格。我建议你在原地而不是在原点这样做。您需要知道五边形的两个相邻顶点。由此，您可以轻松计算五边形的中心（如果您愿意，我可以提供公式）。您现在拥有的三个点确定了一个三角形，它是十二面体旋转组的“基本域”。如果您在基本域上有一个网格，则可以通过围绕通过五边形中心确定的原点的轴重复 72 度旋转，将其传播到您选择的五边形的其他 4/5。称之为旋转 A。你可以用轴角、四元数等来表示它。

要将网格传播到图中的其他五边形，您只需要再旋转一次：旋转 180 度，将您选择的五边形带到附近的另一个五边形。同样，如果您愿意，我可以给出轴的公式，但是如果您可以使用已有的信息找到第二个五边形的中心，则轴由连接两个中心的线段的中点确定。（您可能必须对确定轴的点进行归一化，具体取决于您如何表示旋转。）调用围绕该轴旋转 B 的 180 度旋转。

旋转 A 和 B 一起生成二十面体的整个 60 个元素的旋转组，这将允许您将基本域上的网格传播到图中的每个其他五边形。但是，如果您不小心，您可能会撞到两次，而有些则根本不会。我认为您可以按以下顺序进行：从基本领域开始。 4 A 填充第一个五边形面（我们称之为北极）。然后 B 将该五边形映射到相邻的五边形。再有 4 个 A 将填充五边形的子午线。另一个B将在子午线上取一个五边形到另一个子午线。再有 4 个 A 将填充第二个经线。最后，另一个 B 将第二子午线上的五边形映射到南极。

在这个过程中所有五边形的方向都是正确的。

这有帮助吗？

【讨论】：

感谢您，这确实有帮助！这绝对是对如何获得我所追求的结果的超级清晰的描述。今晚我得试一试。我只是想知道，因为这有效地为每个五边形使用了 5 个三角形网格，所以我可能会在没有任何旋转数学的情况下获得完全相同的结果，只需让代码从我知道属于五边形的顶点渲染三角形。我需要对 LibGDX 性能进行更多挖掘，以确定使用网格是否真的很重要。
哦，我刚刚想到了另一个小细节。可以找到十二面体面的哈密顿循环：参见mathworld.wolfram.com/HamiltonianCycle.html 中最右边的图（十二面体的面对应于二十面体的顶点）。该图上的每条边都对应于 A 和 B 旋转的某种组合；假设第一条边是 B，第二条边是 A，第三条边是 AAB，依此类推，这给出了一个旋转序列，将在 12 次移动中覆盖十二面体（一旦你计算了旋转）。不是很重要，但它很整洁。
这很好！我决定现在尝试实施此解决方案。关于“轴由连接两个中心的线段的中点确定”，我遇到了一些困惑。我有我的中点，但我如何用它做一个轴？这条轴线通过这个点的方向是什么？
在数学意义上，轴是由原点和中点决定的。但是，我认为大多数指定旋转的方法都需要轴的归一化点，而不是任何旧点。所以你应该通过除以它的范数（长度）来“标准化”这个点。即，如果中点为(m.x,m.y,m.z)，则归一化点为(m.x/N,m.y/N,m.z/N)，其中N=sqrt(m.x^2+m.y^2+m.z^2)。一旦你有了归一化点，你就可以将旋转表示为四元数、轴/角度或其他。围绕五边形中心的旋转也是如此。
谢谢，我想我明白了。问题是，看起来我以错误的方式围绕该点旋转。例如，五边形围绕该点摆动 180 度，就好像它是旋转木马的中心一样，但看起来我需要将五边形向上摆动 180 度并越过该点，就好像它是弹射器一样。有什么想法可以解决这个问题吗？