基于边权重和图连通性的子图提取

Question

给定一个描述连通图的边及其权重的矩阵（见下文），我想根据边权重的阈值 x 提取子图。在文献中，我读到可以搜索 最大 x，从而使诱导子图是连通的。

由于假设初始图是连通的，因此必须有一个临界阈值x-critical，对于任何x <= x-critical，提取的子图都是连通的。

我想知道如何在 R 中实现它。例如，我的矩阵 (weights.matrix) 看起来像

| FROM | TO | WEIGHT |
| A    | B  | 0.0042 |
| A    | V  | 0.23   |
| G    | W  | 0.82   |
| ...  | ...| ...    |

我正在创建整个图表，使用 igraph 包，例如：

g <- igraph::graph_from_data_frame(weights.matrix, directed = TRUE)

有没有办法重复检查 - 通过在权重中应用不同的阈值从 min() 到 max() - 如果发生的图表是连接的？我在谷歌中搜索了 igraph 中的此类功能，但找不到任何有用的东西。

这里有一些用于构建此类图表的代码。

library(igraph)

mat <- expand.grid(LETTERS[1:10], LETTERS[1:10])
mat$Weight <- runif(nrow(mat), 0.01, max = 1)
mat <- mat[mat$Var1!=mat$Var2, ] 

g <- graph_from_data_frame(mat)

另外here is a paper 在 pdf 的第 15 页，第 5 节第四节中提到了该技​​术。您可以将边缘相关性视为此处讨论的边缘权重。

Answer 1

我在 python 中工作，而不是 R，所以以下只是伪代码。

我会处理邻接矩阵（不是 igraph 对象），因为这将是最快的。 令A 为邻接矩阵，W 为权重排序列表，w 为W 的元素。 基本思想是遍历邻接矩阵A 中的所有权重，每个权重的阈值A 并检查空行（如果图是有向的，则检查列）。

那么有向案例的伪代码为：

function (A) -> w

W = sort(list(A))

for w in W:
    A' = A > w
    for row in A':
        if sum(row) == 0:
            for col in A':
                if sum(column) == 0: 
                     return w

有很多方法可以优化这一点，但这可以理解基本思想。 #

最快的方法可能是计算每行和每列的最大权重maxima_rows 和maxima_columns，找到它们的最小值min_max_row 和min_max_col，然后取它们中的最大值两个值来获取w。

编辑：

在 python 中，快速方法如下所示：

from numpy import min, max

def find_threshold_that_disjoints_graph(adjacency_matrix):
    """
    For a weighted, fully connected graph, find the weight threshold that results in multiple components.

    Arguments:
    ----------
    adjacency_matrix: (N, N) ndarray of floats

    Returns:
    --------
    threshold: float

    """
    maxima_rows = max(adajacency_matrix, axis=1) # (N, ) vector
    maxima_cols = max(adajacency_matrix, axis=0) # (N, ) vector

    min_max_rows = min(maxima_rows) # float
    min_max_cols = min(maxima_cols) # float

    threshold = max([min_max_rows, min_max_cols])

    return threshold