如何绘制迭代方法？

Question

在以下代码中，我在 Python 中实现了二分法。作为一般概述，我的代码执行以下操作：

• 我的函数能够找到任意连续标量值函数 f 的根，作为 lambda 函数和规定的函数容差。
• 我的例程在区间 [0,1] 上找到函数 f(x) = cos x - sin x 的根，公差为 10^{-14}
• 记录达到此容差所需的迭代次数。

但是现在我希望在同一时间间隔上绘制收敛图。这将是作为迭代次数函数的绝对误差。

为此，我必须在一个列表中收集一系列错误数字，并将其与整数 1 的列表进行对比，直到您的 iter 的最终值。

当我遇到困难时，我正在寻求一些帮助。我已经用不同的迭代方法制作了另外 2 个代码，所以一旦我看到它在这个代码上是如何工作的，我应该也能够在其他代码上实现它！非常感谢所有帮助

import math
def root(x):
    return(math.cos(x)-math.sin(x))

def bisection_method(f, a, b, tol):
    if f(a)*f(b) > 0:
        #end function, no root.
        print("No root found.")
    else:
        iter = 0
        while (b - a)/2.0 > tol:
            midpoint = (a + b)/2.0

            if f(a)*f(midpoint) < 0: # Increasing but below 0 case
                b = midpoint
            else:
                a = midpoint

            iter += 1
        return(midpoint, iter)

answer, iterations = bisection_method(root, 0, 1, 10**(-14))
print("Answer:", answer, "\nfound in", iterations, "iterations")

Answer 1

好吧，您可以将其设为可迭代，而不是生成结果，它每次都会产生一个具有绝对误差和迭代的 2 元组，例如：

def bisection_method(f, a, b, tol):
    if f(a)*f(b) > 0:
        #end function, no root.
        print("No root found.")
    else:
        iter = 0
        while (b - a)/2.0 > tol:
            midpoint = (a + b)/2.0
            yield iter, abs(f(midpoint))
            if f(a)*f(midpoint) < 0: # Increasing but below 0 case
                b = midpoint
            else:
                a = midpoint
            iter += 1

这例如产生：

>>> import numpy as np
>>> np.array(list(bisection_method(root, 0, 1.57, 10e-4)))
array([[0.00000000e+00, 5.63088062e-04],
       [1.00000000e+00, 5.40415665e-01],
       [2.00000000e+00, 2.75209010e-01],
       [3.00000000e+00, 1.37986732e-01],
       [4.00000000e+00, 6.87946039e-02],
       [5.00000000e+00, 3.41260256e-02],
       [6.00000000e+00, 1.67827312e-02],
       [7.00000000e+00, 8.10997409e-03],
       [8.00000000e+00, 3.77346075e-03],
       [9.00000000e+00, 1.60518823e-03]])

然后我们可以将其绘制为：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

data = np.array(list(bisection_method(root, 0, 1, 10e-14)))
plt.plot(data[:,0], data[:,1])
plt.show()

这为我们提供了 [0,1] 范围内的以下图：

但是请注意，初始范围当然会产生巨大的影响：如果中点恰好位于根部，那么这当然只需要一次迭代。此外，如误差所示，下一个绝对误差本身并不小于前一个。该方法保证了“长时间”的改进（通常错误只会增加一两次迭代，所以“长时间”在这里是相对的）。

上面的信息不是很丰富，因为错误很快下降到一个明显的值以下，所以在一定次数的迭代后我们看不到太多错误。我们可以使用对数刻度，让最后的细节更清晰：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

data = np.array(list(bisection_method(root, 0, 1, 10e-14)))
plt.plot(data[:,0], data[:,1])
plt.yscale('log')
plt.show()

然后我们看到错误下降如下：