数学上可以解决这个问题吗？

Question

x <- abs(rnorm(8))
C <- (x[1]*x[2]*x[3])^(1/3)
y <- log(x/C)

如果你只有y，是否可以在数学上确定x[1:3]？在这里，x 和 y 始终是长度为 8 的向量。我应该注意，x 以我的某些数据集而闻名，这对于为 x 的其他数据部分找到解决方案可能很有用是未知的。我的所有代码都是在 R 中实现的，所以如果可以解决，将不胜感激 R 代码！

Answer 1

定义 f 为

f <- function(x) {
  C <- (x[1]*x[2]*x[3])^(1/3)
  log(x/C)
}

我们首先注意到，如果k 是任何标量常量，那么f(x) 和f(k*x) 给出相同的结果，所以如果我们有y = f(x)，我们无法判断y 是来自x 还是来自k*x。也就是说，y 可能来自 x 的任何标量倍数；因此，我们无法从 y 中恢复 x。

线性公式

虽然我们无法恢复 x，但我们可以将 x 确定为标量倍数。定义矩阵A：

ones <- rep(1, 8)
a <- c(1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0)
A <- diag(8) - outer(ones, a) / 3

在这种情况下 f(x) 等于：

A %*% log(x)

反演公式

根据这个公式，给定 y 并求解 x，x 的值将等于

exp(solve(A) %*% y)  ##   would equal x if A were invertible

如果 A 是可逆的，但不幸的是它不是。例如，rowSums(A) 等于 0，这表明 A 的列是线性相关的，这意味着不可逆。

all.equal(rowSums(A), rep(0, 8))
## [1] TRUE

等级和零空间

注意 A 是一个投影矩阵。这是因为它是幂等的，即A %*% A 等于A。

all.equal(A %*% A, A)
## [1] TRUE

这也源于它的特征值都是0和1：

zapsmall(eigen(A)$values)
## [1] 1 1 1 1 1 1 1 0

从特征值中我们看到 A 的秩为 7（非零特征值的数量），零空间的维数为 1（零特征值的数量）。

另一种理解方式是，知道 A 是一个投影矩阵，它的秩等于它的迹，即 7，因此它的零空间必须有维度 8-7=1。

sum(diag(A))  # rank of A
## [1] 7

采用标量倍数跨越一维空间，因此从零空间的维度为 1 的事实来看，它必须是映射到相同 y 的全部值。

关键公式

现在将上面## 中的solve 替换为广义逆ginv，我们有这个关键公式来近似x，因为对于某些x，y = f(x)：

library(MASS)
exp(ginv(A) %*% y)   # approximation to x accurate up to scalar multiple

或等效地，如果 y = f(x)

exp(y - mean(y))

虽然这些没有给出 x，但它们确实将 x 确定为一个标量倍数。也就是说，如果 x' 是上述表达式产生的值，那么对于某个标量常数 k，x 等于 k * x'。

例如，使用问题中的 x 和 y：

exp(ginv(A) %*% y)
##           [,1]
## [1,] 1.2321318
## [2,] 0.5060149
## [3,] 3.4266146
## [4,] 0.1550034
## [5,] 0.2842220
## [6,] 3.7703442
## [7,] 1.0132635
## [8,] 2.7810703

exp(y - mean(y))  # same
## [1] 1.2321318 0.5060149 3.4266146 0.1550034 0.2842220 3.7703442 1.0132635
## [8] 2.7810703

exp(y - mean(y))/x
## [1] 2.198368 2.198368 2.198368 2.198368 2.198368 2.198368 2.198368 2.198368

注意

注意y - mean(y) 可以写成

B <- diag(8) - outer(ones, ones) / 8
B %*% y

如果 y = f(x) 那么 y 必须在 A 的范围内，所以我们可以验证：

all.equal(ginv(A) %*% A, B %*% A)
## [1] TRUE

矩阵 ginv(A) 等于 B 是不正确的。只有它们在 A 的范围上作用相同才是正确的，这就是我们所需要的。

Answer 2

不，这是不可能的。你有三个未知数。这意味着您需要三个独立的信息（方程式）来解决所有三个问题。 y 只给你一条信息。知道x 是积极的会施加一个约束，但不一定能让你解决。例如：

x1 + x2 + x3 = 6

不允许你解决。 x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 是一种解决方案，但 x1 = 1, x2 = 1, x3 = 4 也是如此。还有许多其他解决方案。 [施加“全正”约束将排除 x1 = 100、x2 = 200、x3 = -294 等解决方案，但通常会留下不止一个剩余解决方案。]

x1 + x2 + x3 = 6， x1 + x2 - x3 = 0

将 x3 限制为 3，但允许 x1 和 x2 的任意解，取决于 x1 + x2 = 3。

x1 + x2 + x3 = 6， x1 + x2 - x3 = 0， x1 - x2 + x3 = 2

给出唯一解 x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3。