找到四个连续数字总和为给定数字

Question

假设有一个给定的数字，我们应该测试它是否是四个连续数字的乘积？

所以如果y 是我们给定的数字，我们应该测试y = x(x+1)(x+2)(x+3) 是否为任意x？

如何为这个问题设计算法？

我是这样做的：

import java.util.*;

public class Product 
{
    public static int product(int i)
    {
         return i * (i+1) * (i+2) * (i+3);
    }

    public static void main(String[] args) 
    {
        Scanner scnr = new Scanner(System.in);
        int x = scnr.nextInt();
        for (int i = 0; i < x/2; i++)
        {
            if (product(i) == x)
            {
                System.out.println("number is product of 4 consecutive numbers");
                break;
            }
        }
    }
}

Answer 1

开始

y = x(x+1)(x+2)(x+3) = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x

请注意，系数看起来几乎是对称的，但最后没有 1。

所以假设

y = z^2 - 1

即

z^2 = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1 

x的所有幂的系数一直到4，x^4和x^0的系数都是1，所以我们需要求x^1的系数，我们称之为a：

z = (x^2 + ax + 1)^2 = x^4 + 2ax^3 + (2+a^2)x^2 + 2ax + 1

比较 x^1、x^2 或 x^3 的系数得到a = 3

（上面的方程不要求 x,y 或 z 中的任何一个是整数，但可能会丢失我们不感兴趣的复数或负根）

所以我们可以求解x 的二次方程：

x^2 + 3x + 1 - sqrt(y+1) = 0

给予

x = -3 +/- sqrt(9 - 4 * (1-sqrt(y+1))) 
    ---------------------------------
                2

  = -3 +/- sqrt(5 + 4 sqrt(y+1)) 
    ----------------------------
                2

如果sqrt(y+1) 是一个完美平方z，并且(5+4z) 也是一个完美平方，那么它将是一个整数（如果z 是一个整数，5-4z 是奇数，所以它的平方根，如果一个整数，也是奇数，x 将是一个整数）。

所以先测试z = sqrt(y+1)是否为整数，再测试5+4z是否为完美正方形。

Answer 2

您只需要测试floor(y**(0.25)-1)。随着 y 接近无穷大，x 接近 y**0.25-1.5（从下方）。

在某种程度上，这是相当直观的。 x*(x+1)*(x+2)*(x+3) 是四个数字的乘积，其平均值等于 x+1.5。当 x 很高时，1.5 看起来很小。

Answer 3

对于很多数字，我们可以轻松查看它们是否适合某个 X：

• Y 必须能被 3 整除，因为至少有一个连续数字必须能被 3 整除
• Y 必须能被 4 整除，因为至少有一个连续数字必须能被 4 整除

所以 Y 必须至少能被 12 (3*4) 整除。 这意味着您可以轻松丢弃大约 92% 的数字。

由于 Y 的值至少包含 X 的 4 次方，因此您可以先取 Y 的 4 次方根（或英文怎么称呼），然后将其四舍五入为整数值，称它为 X 并计算 X(X+1)(X+2)(X+3) 的结果。

结果可能会更高（因为我们忽略了其他因素，例如 X 的 3 次方、X 的 2 次方……）。

现在从 X 中减去 1 并执行相同的计算。

只要结果高于 Y，重复此操作，直到结果低于 Y，或者你正好得到 Y。

Answer 4

计算y 的第四个根，向下取整并命名为a。 a(a-1)(a-2)(a-3) 远小于 y。数一下y 的第四个根，四舍五入，命名为b。 b(b+1)(b+2)(b+3) 远远超过 y。现在您可以从三个可能的数字开始：a-2、a-1 和 a（注意 a = b 或 a = b-1）。所以检查(a-2)(a-1)a(a+1)、(a-1)a(a+1)(a+2) 和a(a+1)(a+2)(a+3) 就足够了。

Answer 5

编辑：错误地阅读了问题，但它的价值（测试它是否不是四个连续整数的乘积的快速方法）：

任何四个连续整数的乘积都是equal to one less，而不是perfect square。

Answer 6

我首先要获取 'y' 的第四根。这将为您提供可以使用的最小 y 因子（即“x”）的近似值。将此作为标准分解算法的基础。

Answer 7

答案很简单。
对于给定的数字 y，如果 y+1 不是完全平方，则 y 不是四个连续数字的乘积。 如果 y+1 是完全平方，那么 y 是四个连续数的乘积当且仅当 sqrt(5+4*sqrt(y+1)) 是整数。

Answer 8

你的方程可以简化为

y = x^4 + 6*x^3 + 11*x^2 + 6x

你可以从 x=1 开始向上检查。我们可以注意到一个非常容易计算的上界：y 的 4 次根（或 y 的平方根的平方根）。意思是，当你达到那个数字时，你可以停下来。这对你来说是幸运的，因为对我们来说幸运的是，第四根非常非常非常非常小。

对于高达 10,000 的数字，这很容易检查，因为您最多要检查十个整数。如果您的号码在 500 以下，您最多只需要检查四个整数。

在 1,000,000+ 时，您将不得不开始检查 31 个或更多的数字，因此它可能开始变得不那么琐碎了。

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上限和下限

由于Wolfram Alpha的缘故，经过一番细心的细化，总结出两点：

1. 更精确的 y^0.25 - 1.2 上限
2. y^0.25 - 1.5 的明确下限

所以...

y = num_to_check
k = Math.sqrt(Math.sqrt(y))   # or Math.pow(y,0.25)
lower = int(k-1.5)
upper = int(Math.ceil(k-1.2))
for n in (lower...upper)
  if n * (n+1) * (n+2) * (n+3) == y
    return n
  end
end
return nil

请注意，在这种情况下，对于任何给定的y，最多需要检查两个 数字。

编辑：在将 x 精炼为仅整数之后，在所有情况下，似乎只有一个数字需要检查，因为您的范围减少到一个数字。凉爽的！ （感谢布赖恩）

Answer 9

正如其他人所说，从 y 的第 4 个根开始（我们称之为 z）。

在序列x, x+1,...x+3中，我们知道有些值必须小于z，有些值必须大于z（因为它们不可能都等于z） .

所以，我们知道

x <= ceiling(z)
x+3 >= floor(z)

这为您提供了一个非常小的数字范围来尝试 x。